В1. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. Расстояние от точки О до прямой АВ равно 6 см. \(\angle\) AOC = 90°. \(\angle\) OBC = 15°. Найдите: а) угол АВО; б) радиус окружности.

Решение:

Дано:

• Треугольник АВС вписан в окружность с центром О.
• Расстояние от О до АВ = 6 см.
• \( \angle AOC = 90^{\circ} \)
• \( \angle OBC = 15^{\circ} \)

Найти:

• а) \( \angle ABO \)
• б) R (радиус окружности)

а) Нахождение \( \angle ABO \):

1. Рассмотрим \( \triangle AOC \). Так как О - центр окружности, OA = OC = R. \( \triangle AOC \) - равнобедренный.
2. \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
3. Рассмотрим \( \triangle OBC \). OB = OC = R, \( \triangle OBC \) - равнобедренный.
4. \( \angle OCB = \angle OBC = 15^{\circ} \).
5. \( \angle ACB = \angle OCA + \angle OCB = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ} \).
6. Угол \( \angle AOC \) является центральным углом, опирающимся на дугу АС. Угол \( \angle ABC \) - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.
7. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ} \).
8. В \( \triangle ABC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).
9. \( \angle BAC + 45^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \)
10. \( \angle BAC = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ} \).
11. В \( \triangle ABO \): OA = OB = R, \( \triangle ABO \) - равнобедренный.
12. \( \angle OAB = \angle OBA = \angle ABO \).
13. \( \angle OAB \) можно найти, как \( \angle BAC - \angle OAC \) или \( \angle BAC - \angle OAC \).
14. \( \angle BAC = 75^{\circ} \), \( \angle OAC = 45^{\circ} \).
15. \( \angle OAB = \angle BAC - \angle OAC = 75^{\circ} - 45^{\circ} = 30^{\circ} \).
16. Следовательно, \( \angle ABO = \angle OAB = 30^{\circ} \).

б) Нахождение радиуса окружности (R):

1. Проведем перпендикуляр из точки О к стороне АВ. Обозначим точку пересечения как М. По условию, ОМ = 6 см.
2. В равнобедренном \( \triangle ABO \) (OA=OB=R), высота ОМ, проведенная к основанию АВ, является также и медианой, и биссектрисой.
3. \( \triangle OMB \) - прямоугольный треугольник с \( \angle OBM = 30^{\circ} \) (из пункта а) и \( \angle BOM = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
4. В прямоугольном \( \triangle OMB \): \( \sin(\angle OBM) = \frac{OM}{OB} \)
5. \( \sin(30^{\circ}) = \frac{6}{R} \)
6. \( \frac{1}{2} = \frac{6}{R} \)
7. \( R = 2 \cdot 6 = 12 \) см.

Ответ: а) \( \angle ABO = 30^{\circ} \); б) R = 12 см.