В1. Точки P, K, L, M — середины сторон ромба ABCD. Докажите, что четырёхугольник PKLM — прямоугольник.

Пусть точки P, K, L, M — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. В треугольнике ABC отрезок PK соединяет середины сторон AB и BC. По свойству средней линии треугольника, PK ∥ AC и PK = AC/2.
2. В треугольнике CDA отрезок ML соединяет середины сторон CD и DA. Поэтому ML ∥ AC и ML = AC/2. Значит, PK ∥ ML и PK = ML.
3. Аналогично, в треугольниках BCD и DAB получаем KL ∥ BD, PM ∥ BD и KL = PM = BD/2. Значит, KL ∥ PM и KL = PM.
4. У четырёхугольника PKLM обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, PKLM — параллелограмм.
5. Диагонали ромба AC и BD перпендикулярны. Так как PK ∥ AC, а KL ∥ BD, угол PKL равен 90°.
6. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.