В1. В параллелограмме ABCD дано: \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), \(E\in AD\), \(AE:ED=2:3\), \(F\in CD\), \(DF:CF=1:2\). Выразите вектор \(\overrightarrow{EF}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\).

Положим начало координат в точке A. Тогда положение точки D задаётся вектором \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а точки C — вектором \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

Из отношения \(AE:ED=2:3\) следует, что \(\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\vec b\).

Так как \(DF:CF=1:2\), точка F делит отрезок DC в отношении 1:2 от D к C. Поэтому \(\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{3}\vec a\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=\vec b+\frac{1}{3}\vec a\).

Вычитаем радиус-векторы точек E и F:

\[\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\left(\vec b+\frac{1}{3}\vec a\right)-\frac{2}{5}\vec b=\frac{1}{3}\vec a+\frac{3}{5}\vec b.\]

Ответ: \(\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\vec a+\frac{3}{5}\vec b\).