В1. Выполните задания по рисунку:

Задание В1. Анализ графа

Рисунок представляет собой граф, где точки (вершины) соединены линиями (ребрами).

а) Найдите путь (не простой) графа.

Путь в графе — это последовательность вершин, соединенных ребрами. "Не простой" означает, что вершины или ребра могут повторяться.

Примеры путей:

• 1 – 2 (простой путь)
• 1 – 5 – 2 (простой путь)
• 1 – 3 – 1 – 5 (не простой путь, так как вершина 1 повторяется)
• 1 – 3 – 4 – 1 – 2 (не простой путь, вершина 1 повторяется)

Ответ: Например, 1-3-1-5 или 1-3-4-1-2.

б) Найдите цепь графа.

Цепь в графе — это последовательность вершин, соединенных ребрами, где ребра не повторяются. Вершины могут повторяться.

Примеры цепей:

• 1 – 2
• 1 – 5 – 2
• 1 – 3 – 4
• 5 – 1 – 3 – 4
• 2 – 1 – 3 – 4

Ответ: Например, 1-5-2 или 5-1-3-4.

в) Найдите сумму степеней всех вершин графа.

Степень вершины — это количество ребер, которые выходят из этой вершины (или сходятся в нее). В данном графе:

• Степень вершины 1: 3 ребра (соединена с 2, 3, 5)
• Степень вершины 2: 2 ребра (соединена с 1, 5)
• Степень вершины 3: 2 ребра (соединена с 1, 4)
• Степень вершины 4: 2 ребра (соединена с 1, 3)
• Степень вершины 5: 2 ребра (соединена с 1, 2)

Сумма степеней всех вершин:

\( 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 11 \)

Теорема о сумме степеней: Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу ребер. Давайте посчитаем ребра:

• (1,2)
• (1,3)
• (1,5)
• (2,5)
• (3,4)

Всего 5 ребер. Удвоенное число ребер: \( 2 \times 5 = 10 \).

Анализ: Есть расхождение. Давайте пересчитаем степени внимательнее, глядя на рисунок:

• Вершина 1 соединена с 2, 3, 5. Степень = 3.
• Вершина 2 соединена с 1, 5. Степень = 2.
• Вершина 3 соединена с 1, 4. Степень = 2.
• Вершина 4 соединена с 1, 3. Степень = 2.
• Вершина 5 соединена с 1, 2. Степень = 2.

Сумма степеней: \( 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 11 \). Это верно.

Теперь посмотрим на ребра еще раз:

• Ребро между 1 и 2.
• Ребро между 1 и 3.
• Ребро между 1 и 5.
• Ребро между 2 и 5.
• Ребро между 3 и 4.

Всего 5 ребер. Удвоенное число ребер = \( 2 \times 5 = 10 \).

В чем причина расхождения?

Давайте внимательно посмотрим на рисунок. Возможно, я неправильно трактую соединения:

• 1 соединена с 2, 3, 4, 5. Степень вершины 1 = 4.
• 2 соединена с 1, 5. Степень вершины 2 = 2.
• 3 соединена с 1, 4. Степень вершины 3 = 2.
• 4 соединена с 1, 3. Степень вершины 4 = 2.
• 5 соединена с 1, 2. Степень вершины 5 = 2.

Сумма степеней: \( 4 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 \).

Теперь проверим количество ребер:

• (1,2)
• (1,3)
• (1,4)
• (1,5)
• (2,5)
• (3,4)

Всего 6 ребер.

Удвоенное число ребер: \( 2 \times 6 = 12 \).

Теперь сумма степеней совпала с удвоенным числом ребер. Это подтверждает правильность подсчета.

Ответ: 12