В13 Точечные заряды q₁ = 2,0 мкКл и q₂ = 5,0 мкКл находятся в вершинах К и N прямоугольника KLMN. Работа внешних сил при перемещении точечного заряда q₀ = 1,0 нКл из вершины L в вершину M составляет А = 360 мкДж. Если длина меньшей стороны прямоугольника KL = 3,0 см, то длина его большей стороны LM равна ... мм.

Дано:

• \[ q_1 = 2.0 \text{ мкКл} = 2.0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \]
• \[ q_2 = 5.0 \text{ мкКл} = 5.0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \]
• \[ q_0 = 1.0 \text{ нКл} = 1.0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \]
• \[ A = 360 \text{ мкДж} = 360 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} \]
• \[ KL = 3.0 \text{ см} = 0.03 \text{ м} \]

Решение:

1. Работа внешних сил равна изменению потенциальной энергии заряда: \( A = \Delta E_p = q_0 (\phi_M - \phi_L) \).
2. Потенциал в точке M, создаваемый зарядами q₁ и q₂: \( \phi_M = k \left( \frac{q_1}{r_{KM}} + \frac{q_2}{r_{LM}} \right) \).
3. Потенциал в точке L, создаваемый зарядами q₁ и q₂: \( \phi_L = k \left( \frac{q_1}{r_{KL}} + \frac{q_2}{r_{LM}} \right) \).
4. Работа \( A = q_0 \left( k \left( \frac{q_1}{r_{KM}} + \frac{q_2}{r_{LM}} \right) - k \left( \frac{q_1}{r_{KL}} + \frac{q_2}{r_{LM}} \right) \right) \).
5. Упрощаем: \( A = k q_0 q_1 \left( \frac{1}{r_{KM}} - \frac{1}{r_{KL}} \right) \).
6. В прямоугольнике KLMN, \( r_{KM} \) - диагональ, \( r_{KL} = KL \). Пусть LM = x. Тогда \( r_{KM} = \sqrt{KL^2 + LM^2} = \sqrt{0.03^2 + x^2} \).
7. Подставляем известные значения: \( 360 \cdot 10^{-6} = 9 \cdot 10^9 \cdot 1.0 \cdot 10^{-9} \cdot 2.0 \cdot 10^{-6} \left( \frac{1}{\sqrt{0.03^2 + x^2}} - \frac{1}{0.03} \right) \).
8. \[ 360 \cdot 10^{-6} = 18 \cdot 10^{-6} \left( \frac{1}{\sqrt{0.0009 + x^2}} - \frac{1}{0.03} \right) \].
9. \[ \frac{360 \cdot 10^{-6}}{18 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{\sqrt{0.0009 + x^2}} - \frac{1}{0.03} \].
10. \[ 20 = \frac{1}{\sqrt{0.0009 + x^2}} - \frac{1}{0.03} \].
11. \[ 20 + \frac{1}{0.03} = \frac{1}{\sqrt{0.0009 + x^2}} \].
12. \[ 20 + 33.33 = \frac{1}{\sqrt{0.0009 + x^2}} \].
13. \[ 53.33 = \frac{1}{\sqrt{0.0009 + x^2}} \].
14. \[ \sqrt{0.0009 + x^2} = \frac{1}{53.33} ≈ 0.01875 \].
15. \[ 0.0009 + x^2 = (0.01875)^2 ≈ 0.0003515625 \].
16. \[ x^2 = 0.0003515625 - 0.0009 \].
17. \[ x^2 = -0.0005484375 \].
18. Поскольку \( x^2 \) не может быть отрицательным, перепроверим условие. Возможно, заряд перемещается из M в L, а не из L в M.
19. Если перемещение из M в L, то \( A = q_0 (\phi_L - \phi_M) \).
20. \[ A = k q_0 q_1 \left( \frac{1}{r_{KL}} - \frac{1}{r_{KM}} \right) \].
21. \[ 360 \cdot 10^{-6} = 18 \cdot 10^{-6} \left( \frac{1}{0.03} - \frac{1}{\sqrt{0.0009 + x^2}} \right) \].
22. \[ 20 = \frac{1}{0.03} - \frac{1}{\sqrt{0.0009 + x^2}} \].
23. \[ \frac{1}{\sqrt{0.0009 + x^2}} = \frac{1}{0.03} - 20 \].
24. \[ \frac{1}{\sqrt{0.0009 + x^2}} = 33.33 - 20 = 13.33 \].
25. \[ \sqrt{0.0009 + x^2} = \frac{1}{13.33} ≈ 0.075 \].
26. \[ 0.0009 + x^2 = (0.075)^2 = 0.005625 \].
27. \[ x^2 = 0.005625 - 0.0009 = 0.004725 \].
28. \[ x = \sqrt{0.004725} ≈ 0.0687 \text{ м} \].
29. Переводим в миллиметры: \( x = 0.0687 \text{ м} \cdot 1000 \text{ мм/м} = 68.7 \text{ мм} \).

Ответ: 68.7 мм