В2. В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка D так, что CD : DB = 1 : 2. В каком отношении прямая, проходящая через точку B и середину отрезка AD, делит сторону AC, считая от точки A?

Обозначим через M середину AD, а через P точку пересечения прямой BM со стороной AC.

1. Пусть A=(0,0), C=(1,0), B=(u,v). Так как CD:DB=1:2, точка D делит BC в отношении 1:2 от C, поэтому D=(2C+B)/3.
2. Поскольку M — середина AD, получаем M=(2C+B)/6.
3. Точка на прямой BM имеет вид B+t(M−B). Её координата y равна v(1−5t/6); для пересечения с AC нужно y=0, значит t=6/5.
4. Тогда координата x точки пересечения P равна u+(6/5)((2−5u)/6)=2/5. Следовательно, AP:PC=2/5:3/5=2:3.

Ответ: 2:3.