В3. Основание пирамиды DEFG — треугольник EFG, в котором ∠G = 90°, ∠F = 30°. Ребро DE перпендикулярно к плоскости основания пирамиды и равно 16, а ребро DF образует с плоскостью основания угол 45°. Через середину ребра DF проведена плоскость параллельно плоскости основания пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, отсеченной этой плоскостью.

Решение:

1. Анализ условия:

• Дана пирамида DEFG.
• Основание — прямоугольный треугольник EFG (∠G = 90°, ∠F = 30°).
• Ребро DE перпендикулярно плоскости основания, DE = 16.
• Угол между ребром DF и плоскостью основания равен 45°.
• Плоскость, параллельная основанию, проходит через середину ребра DF.
• Требуется найти площадь боковой поверхности отсеченной пирамиды.

2. Нахождение элементов треугольника основания:

• В треугольнике EFG: ∠G = 90°, ∠F = 30°. Следовательно, ∠E = 180° - 90° - 30° = 60°.
• Пусть FG = x. Тогда EF = FG / cos(30°) = x / (√3/2) = 2x/√3.
• EG = FG * tan(30°) = x * (1/√3) = x/√3.

3. Нахождение длины ребра DG:

• Треугольник DEG — прямоугольный (DE ⊥ EG).
• В прямоугольном треугольнике DGE, угол между DF и плоскостью основания — это угол DFE.
• Угол DFE = 45°.
• В прямоугольном треугольнике DFE: DE = 16.
• Тогда FG = DE / tan(45°) = 16 / 1 = 16.
• Теперь найдем EF и EG:
• FG = 16.
• EF = 16 / cos(30°) = 16 / (√3/2) = 32/√3.
• EG = 16 * tan(30°) = 16 * (1/√3) = 16/√3.
• DF = DE / sin(45°) = 16 / (1/√2) = 16√2.

4. Площадь боковой поверхности отсеченной пирамиды:

• Плоскость, параллельная основанию, делит высоту пирамиды пополам. Следовательно, отсеченная пирамида подобна исходной с коэффициентом подобия k = 1/2.
• Площадь боковой поверхности отсеченной пирамиды будет равна k² * (площадь боковой поверхности исходной пирамиды).
• Боковая поверхность исходной пирамиды состоит из площадей треугольников DEF, DFG, DEG.
• Площадь △DEG = 1/2 * DE * EG = 1/2 * 16 * (16/√3) = 128/√3.
• Площадь △DFG = 1/2 * FG * DG. Найдем DG: DG² = DE² + EG² = 16² + (16/√3)² = 256 + 256/3 = 256 * (1 + 1/3) = 256 * 4/3. DG = 16 * 2 / √3 = 32/√3.
• Площадь △DFG = 1/2 * 16 * (32/√3) = 256/√3.
• Площадь △DEF = 1/2 * DE * EF = 1/2 * 16 * (32/√3) = 256/√3.
• Площадь боковой поверхности исходной пирамиды = 128/√3 + 256/√3 + 256/√3 = 640/√3.
• Площадь боковой поверхности отсеченной пирамиды = (1/2)² * (640/√3) = 1/4 * 640/√3 = 160/√3 = 160√3/3.

Ответ: 160√3/3