В3. Шарик, движущийся по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий на той же поверхности более тяжёлый шарик тех же размеров. В результате частично неупругого удара первый шарик остановился, а второй начал двигаться со скоростью 2 м/с. При этом 75% первоначальной кинетической энергии первого шарика перешло во внутреннюю энергию. Какова скорость первого шарика до удара? Ответ дать в м/с.

Решение:

Обозначим:

• \( m_1 \) — масса первого (лёгкого) шарика.
• \( m_2 \) — масса второго (тяжёлого) шарика.
• \( v_1 \) — начальная скорость первого шарика (то, что нужно найти).
• \( v_2 \) — конечная скорость первого шарика (равна 0, т.к. остановился).
• \( v'_2 \) — конечная скорость второго шарика (равна \( 2 \text{ м/с} \)).

Так как шарики имеют те же размеры, но один тяжелее другого, предположим, что \( m_2 > m_1 \). Для простоты, если не указано иное, часто принимают \( m_2 = k u m_1 \), где \( k > 1 \).

По условию, первый шарик остановился после удара, значит, его конечная скорость \( v_2 = 0 \text{ м/с} \).

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

\( m_1 v_1 + m_2 u 0 = m_1 v_2 + m_2 v'_2 \)

\( m_1 v_1 = m_1 u 0 + m_2 u 2 \text{ м/с} \)

\( m_1 v_1 = 2 m_2 \) (1)

Первоначальная кинетическая энергия первого шарика:

\( E_{k1} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \)

По условию, 75% этой энергии перешло во внутреннюю энергию, а 25% осталось в виде кинетической энергии второго шарика.

Кинетическая энергия второго шарика после удара:

\( E'_{k2} = \frac{1}{2} m_2 (v'_2)^2 = \frac{1}{2} m_2 (2 \text{ м/с})^2 = 2 m_2 \text{ Дж} \)

Согласно условию, \( E'_{k2} \) составляет 25% от \( E_{k1} \):

\( E'_{k2} = 0.25 u E_{k1} \)

\( 2 m_2 = 0.25 u \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \)

\( 2 m_2 = 0.125 u m_1 v_1^2 \) (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными \( v_1 \) и \( m_2/m_1 \). Подставим \( m_2 \) из уравнения (1) в уравнение (2). Из (1) \( m_2 = \frac{m_1 v_1}{2} \).

\( 2 u \left( \frac{m_1 v_1}{2} \right) = 0.125 u m_1 v_1^2 \)

\( m_1 v_1 = 0.125 u m_1 v_1^2 \)

Разделим обе части на \( m_1 v_1 \) (предполагая \( v_1 \neq 0 \)):

\( 1 = 0.125 u v_1 \)

\( v_1 = \frac{1}{0.125} = 8 \text{ м/с} \)

Ответ: 8 м/с.