В4. Найти сумму (в градусах) корней уравнения \(\sin 2x+\sqrt{0{,}25-\cos 2x}=0\), лежащих на отрезке [0°; 360°].

Положим \(y=2x\). Тогда \(y\in[0°;720°]\), а уравнение имеет вид \(\sin y+\sqrt{0.25-\cos y}=0\).

1. Корень квадратный неотрицателен, поэтому необходимо \(\sin y\le 0\). Возведём уравнение в квадрат: \(\sin^2 y=0.25-\cos y\).

2. Обозначим \(c=\cos y\) и применим тождество \(\sin^2 y=1-c^2\): \(1-c^2=0.25-c\), откуда \(c^2-c-0.75=0\).

3. Решения уравнения для косинуса: \(c=1.5\) или \(c=-0.5\). Значение \(1.5\) невозможно, поэтому \(\cos y=-0.5\). С учётом условия \(\sin y\le0\) получаем на отрезке \([0°;720°]\): \(y=240°\) и \(y=600°\).

4. Поскольку \(x=y/2\), корни исходного уравнения: \(x=120°\) и \(x=300°\). Оба удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: 420°.