В43. Точка касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности делит гипотенузу на отрезки 3 и 10. Найти диаметр вписанной окружности.

Пусть гипотенуза разделена на отрезки \(3\) и \(10\), поэтому \(c=13\).

Для прямоугольного треугольника отрезки гипотенузы, образованные точкой касания, равны \(s-a\) и \(s-b\). Их сумма равна:

\((s-a)+(s-b)=2s-a-b=c\).

Разность катетов и гипотенузы позволяет найти катеты. Получаем катеты \(a=5\) и \(b=12\).

Радиус вписанной окружности:

\(r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{5+12-13}{2}=2\).

Диаметр:

\(D=2r=4\).

Ответ: 4.