В5. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Угол С равен 21°, угол DAC равен 27°. Найти угол В. Ответ запишите в градусах.

Решение:

1. Угол \( BAC \) состоит из двух углов: \( BAD \) и \( DAC \). Нам дан \( DAC = 27^{\circ} \).

2. Угол \( ADC \) является внешним углом треугольника \( ABD \). Следовательно, \( \angle ADC = \angle B + \angle BAD \).

3. Также угол \( ADC \) является смежным с углом \( ADB \). Значит, \( \angle ADC + \angle ADB = 180^{\circ} \).

4. В треугольнике \( ADC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle C + \angle DAC + \angle ADC = 180^{\circ} \)

\( 21^{\circ} + 27^{\circ} + \angle ADC = 180^{\circ} \)

\( 48^{\circ} + \angle ADC = 180^{\circ} \)

\( \angle ADC = 180^{\circ} - 48^{\circ} = 132^{\circ} \).

5. Так как \( AD \) — биссектриса, то \( \angle BAD = \angle DAC = 27^{\circ} \).

6. Теперь найдём угол \( B \) из треугольника \( ABD \), используя то, что \( \angle ADC = \angle B + \angle BAD \):

\( 132^{\circ} = \angle B + 27^{\circ} \)

\( \angle B = 132^{\circ} - 27^{\circ} = 105^{\circ} \).

7. Проверим сумму углов в треугольнике \( ABC \):

\( \angle A = \angle BAD + \angle DAC = 27^{\circ} + 27^{\circ} = 54^{\circ} \).

\( \angle B = 105^{\circ} \).

\( \angle C = 21^{\circ} \).

\( 54^{\circ} + 105^{\circ} + 21^{\circ} = 180^{\circ} \). Сумма углов верна.

Ответ: 105.