17. Валера и Алина неправильно сокращают дроби. Валера из числителя вычитает 4, а из знаменателя – 3. Например, дробь $$\frac{8-4}{6-3} = \frac{8}{6}$$ он сократил так: $$\frac{8}{6} = \frac{6}{3}$$. Алина из числителя вычитает 5, а из знаменателя – 2. Например, дробь $$\frac{10-5}{4-2} = \frac{10}{4}$$ она сократила так: $$\frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$. Валера и Алина решили вместе сократить дробь $$\frac{644}{645}$$ в десять действий, причём каждый придерживался своих правил. В результате они получили дробь со знаменателем 618. Найди числитель этой дроби, учитывая, что ребята преобразовывали её не по очереди.

Решение: Пусть x - количество действий, которые выполнил Валера, а y - количество действий, которые выполнила Алина. Так как всего было 10 действий, то $$x + y = 10$$. После того, как Валера вычитает 4 из числителя и 3 из знаменателя, числитель уменьшается на 4, а знаменатель на 3. После того, как Алина вычитает 5 из числителя и 2 из знаменателя, числитель уменьшается на 5, а знаменатель на 2. После x действий Валеры и y действий Алины числитель уменьшится на $$4x + 5y$$, а знаменатель - на $$3x + 2y$$. Новая дробь имеет вид $$\frac{644 - (4x + 5y)}{645 - (3x + 2y)} = \frac{N}{618}$$. Знаменатель равен 618, значит, $$645 - (3x + 2y) = 618$$. Отсюда, $$3x + 2y = 645 - 618 = 27$$. У нас есть система уравнений: $$\begin{cases} x + y = 10 \\ 3x + 2y = 27 \end{cases}$$ Умножим первое уравнение на 2: $$2x + 2y = 20$$. Вычтем это уравнение из второго уравнения: $$(3x + 2y) - (2x + 2y) = 27 - 20$$, следовательно, $$x = 7$$. Тогда $$y = 10 - x = 10 - 7 = 3$$. Теперь найдем числитель N: $$N = 644 - (4x + 5y) = 644 - (4 \cdot 7 + 5 \cdot 3) = 644 - (28 + 15) = 644 - 43 = 601$$. Ответ: 601