17. Валера и Алина неправильно сокращают дроби. Валера из числителя вычитает 4, а из знаменателя — 3. Например, дробь \(\frac{8}{6}\) он сократил так: \(\frac{8}{6} = \frac{8 - 4}{6 - 3} = \frac{4}{3}\). Алина из числителя вычитает 5, а из знаменателя — 2. Например, дробь \(\frac{10}{4}\) она сократила так: \(\frac{10}{4} = \frac{10 - 5}{4 - 2} = \frac{5}{2}\). Валера и Алина решили вместе сократить дробь \(\frac{644}{645}\) в десять действий, причём каждый придерживался своих правил. В результате они получили дробь со знаменателем 618. Найди числитель этой дроби, учитывая, что ребята преобразовывали её не по очереди.

Решение

Пусть Валера выполнил \(x\) действий, а Алина — \(y\) действий. Тогда: \[x + y = 10\]

После каждого действия Валеры числитель уменьшается на 4, а знаменатель — на 3. После каждого действия Алины числитель уменьшается на 5, а знаменатель — на 2.

Пусть \(N\) — числитель дроби после сокращений. Тогда: \[645 - 3x - 2y = 618\] \[3x + 2y = 645 - 618\] \[3x + 2y = 27\]

Решим систему уравнений: \[\begin{cases} x + y = 10 \\ 3x + 2y = 27 \end{cases}\]

Из первого уравнения выразим \(y\): \(y = 10 - x\). Подставим во второе уравнение: \[3x + 2(10 - x) = 27\] \[3x + 20 - 2x = 27\] \[x = 7\]

Тогда \(y = 10 - 7 = 3\).

Теперь найдем числитель \(N\): \[N = 644 - 4x - 5y\] \[N = 644 - 4 \cdot 7 - 5 \cdot 3\] \[N = 644 - 28 - 15\] \[N = 601\]

Ответ: 601

Умничка! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!