Ваня и его сестра Лена живут в поселке. На единственной, прямой дороге, проходящей через поселок, на расстоянии 8 км друг от друга находятся магазин и дом Вани и Лены. Ваня вышел из магазина, а Лена — из дома, причем сделали они это одновременно. Ваня идет со скоростью 5 км/ч, а Лена — 2,5 км/ч. Какое расстояние будет между братом и сестрой через час? Найдите все возможные варианты.

Краткое пояснение:

Чтобы найти расстояние между Ваней и Леной через час, необходимо рассчитать, какое расстояние каждый из них пройдет за это время, и учесть их начальное положение относительно друг друга.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассчитаем расстояние, которое пройдет Ваня за час.
   Ваня идет со скоростью 5 км/ч, значит, за 1 час он пройдет:
   

5 км/ч * 1 ч = 5 км

1. Шаг 2: Рассчитаем расстояние, которое пройдет Лена за час.
   Лена идет со скоростью 2,5 км/ч, значит, за 1 час она пройдет:
   

2,5 км/ч * 1 ч = 2,5 км

1. Шаг 3: Определим возможное начальное положение магазина и дома.
   Магазин и дом находятся на расстоянии 8 км друг от друга. Есть два основных варианта расположения:
   
   • Вариант 1: Магазин находится между домом и Ваней (или наоборот).
   • Вариант 2: Дом и магазин находятся по разные стороны от Вани (или наоборот).
2. Шаг 4: Рассчитаем расстояние между Ваней и Леной через час для каждого варианта.
   
   • Вариант 1 (начальное положение): Лена в доме, Ваня в магазине. Расстояние между ними 8 км. Они идут навстречу друг другу.
   
   Расстояние через час:
   Начальное расстояние - (расстояние, пройденное Ваней + расстояние, пройденное Леной)
   8 км - (5 км + 2,5 км) = 8 км - 7,5 км = 0,5 км.
   • Вариант 2 (начальное положение): Лена в доме, Ваня вышел из магазина, который находится в 8 км от дома. Это означает, что они идут в одном направлении (от дома через магазин, или от магазина через дом). Если они идут в одном направлении, то их начальное положение относительно друг друга может быть разным. Рассмотрим случай, когда они идут в одном направлении, и Лена находится в начальной точке, а Ваня в 8 км от нее (в магазине).
   
   Расстояние через час:
   Если они идут в одном направлении, то расстояние между ними будет разница пройденных расстояний плюс начальное расстояние (если Ваня уходит дальше от дома), или разница пройденных расстояний минус начальное расстояние (если Лена догоняет Ваню).
   
   Случай 2а: Оба идут от дома в одном направлении.
   Лена начинает из дома (0 км). Ваня начинает из магазина (8 км).
   Положение Лены через час: 2,5 км.
   Положение Вани через час: 8 км + 5 км = 13 км.
   Расстояние между ними: 13 км - 2,5 км = 10,5 км.
   • Вариант 3 (начальное положение): Лена вышла из дома, Ваня вышел из магазина. Дом и магазин находятся на расстоянии 8 км. Но Ваня вышел из магазина, а Лена из дома. Это означает, что они могут двигаться навстречу друг другу, или в одном направлении. Если в одном направлении, то Ваня может быть дальше от дома, чем магазин, или магазин может быть дальше от дома, чем Ваня. Исходя из условия, что магазин и дом находятся на расстоянии 8 км, и Ваня вышел из магазина, а Лена из дома, и они вышли одновременно, можно предположить, что они двигаются в разных направлениях от друг друга, или навстречу друг другу. В Варианте 1 мы рассмотрели движение навстречу. Рассмотрим движение в одном направлении, когда Лена находится в начальной точке (дом), а Ваня выходит из магазина, который находится на расстоянии 8 км от дома.
   
   Случай 3а: Лена идет от дома, Ваня от магазина в том же направлении.
   Лена (из дома) пройдет 2,5 км.
   Ваня (из магазина) пройдет 5 км.
   Расстояние между ними будет: 8 км (начальное расстояние) + 5 км (пройденное Ваней) - 2,5 км (пройденное Леной) = 10,5 км.
   Случай 3б: Лена идет от дома, Ваня от магазина в противоположном направлении.
   Лена (из дома) пройдет 2,5 км.
   Ваня (из магазина) пройдет 5 км.
   Расстояние между ними будет: 8 км (начальное расстояние) + 5 км (пройденное Ваней) + 2,5 км (пройденное Леной) = 15,5 км.
3. Шаг 5: Обобщим возможные варианты.
   
   • Вариант 1: Движение навстречу друг другу. Расстояние через час: 0,5 км.
   • Вариант 2: Движение в одном направлении, когда Ваня находится дальше от дома, чем Лена. Расстояние через час: 10,5 км.
   • Вариант 3: Движение в противоположных направлениях. Расстояние через час: 15,5 км.

Ответ: Возможные расстояния между братом и сестрой через час: 0,5 км, 10,5 км, 15,5 км.