32. Ваня играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 10 000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй 4 очка, после третьей 8 очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Ваня перейдет на следующий уровень?

Ответ: Ваня перейдет на следующий уровень через 13 минут.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Определим количество очков, добавляемых за каждую минуту:

• 1 минута: 2 очка
• 2 минута: 4 очка
• 3 минута: 8 очков
• 4 минута: 16 очков
• 5 минута: 32 очка
• 6 минута: 64 очка
• 7 минута: 128 очков
• 8 минута: 256 очков
• 9 минута: 512 очков
• 10 минута: 1024 очка
• 11 минута: 2048 очков
• 12 минута: 4096 очков
• 13 минута: 8192 очка

Шаг 2: Рассчитаем суммарное количество очков за каждую минуту, добавляя очки за каждую минуту:

• 1 минута: 2 очка
• 2 минуты: 2 + 4 = 6 очков
• 3 минуты: 6 + 8 = 14 очков
• 4 минуты: 14 + 16 = 30 очков
• 5 минут: 30 + 32 = 62 очка
• 6 минут: 62 + 64 = 126 очков
• 7 минут: 126 + 128 = 254 очка
• 8 минут: 254 + 256 = 510 очков
• 9 минут: 510 + 512 = 1022 очка
• 10 минут: 1022 + 1024 = 2046 очков
• 11 минут: 2046 + 2048 = 4094 очка
• 12 минут: 4094 + 4096 = 8190 очков
• 13 минут: 8190 + 8192 = 16382 очка

Шаг 3: Найдем, когда суммарное количество очков достигнет или превысит 10 000.

Показать пошаговые вычисления

Сумма n членов геометрической прогрессии равна: \[S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}\] где:

• \(a_1 = 2\) (первый член прогрессии)
• \(q = 2\) (знаменатель прогрессии)
• \(n\) - количество минут

Тогда: \[S_n = 2 \cdot \frac{1 - 2^n}{1 - 2} = 2 \cdot (2^n - 1)\] Мы хотим найти такое наименьшее \(n\), при котором \(S_n \geq 10000\): \[2 \cdot (2^n - 1) \geq 10000\] \[2^n - 1 \geq 5000\] \[2^n \geq 5001\] Теперь найдем наименьшее целое \(n\), удовлетворяющее этому неравенству. Можно воспользоваться логарифмами или просто перебирать значения \(n\):

• \(2^{10} = 1024\)
• \(2^{11} = 2048\)
• \(2^{12} = 4096\)
• \(2^{13} = 8192\)
• \(2^{14} = 16384\)

Видим, что \(2^{13} = 8192 < 5001\) и \(2^{13} = 8192 > 5001\), значит, \(n = 13\). Следовательно, Ване потребуется 13 минут, чтобы набрать не менее 10 000 очков.

Однако, мы видим, что есть ошибка в начальных расчетах. Суммируем очки за каждую минуту правильно:

• 1 минута: 2
• 2 минуты: 2+4 = 6
• 3 минуты: 6+8 = 14
• 4 минуты: 14+16 = 30
• 5 минут: 30+32 = 62
• 6 минут: 62+64 = 126
• 7 минут: 126+128 = 254
• 8 минут: 254+256 = 510
• 9 минут: 510+512 = 1022
• 10 минут: 1022+1024 = 2046
• 11 минут: 2046+2048 = 4094
• 12 минут: 4094+4096 = 8190
• 13 минут: 8190+8192 = 16382

Следовательно, Ване потребуется 13 минут, чтобы набрать не менее 10 000 очков.

Альтернативное решение:

Зная формулу геометрической прогрессии, можно решить задачу быстрее:

Сумма очков за n минут равна \[2(2^n - 1)\]

Нам нужно найти n, при котором \[2(2^n - 1) \geq 10000\]

\[2^n - 1 \geq 5000\] \[2^n \geq 5001\]

Методом подбора находим, что \(2^{13} = 8192\), что больше 5001. Значит, n = 13.

Ответ: Ваня перейдет на следующий уровень через 13 минут.