14. Ваня последовательно разделил задуманное им натуральное число на 4, на 5 и на 9, получив в каждом из случаев некоторый остаток. Сумма этих остатков равна 15. Какой остаток даёт задуманное Ваней число при делении на 15? Запишите решение и ответ. Решение: Ответ:

Пусть задуманное число ( x ). Тогда при делении на 4, 5 и 9 получим остатки ( r_4, r_5, r_9 ) соответственно. Из условия известно, что: ( r_4 + r_5 + r_9 = 15 ) Так как остаток от деления на число всегда меньше этого числа, то: ( r_4 < 4 ), ( r_5 < 5 ), ( r_9 < 9 ) Тогда возможные значения остатков: ( r_4 in {0, 1, 2, 3} ), ( r_5 in {0, 1, 2, 3, 4} ), ( r_9 in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ) Подберем такие значения, чтобы их сумма была равна 15: ( r_4 = 3 ), ( r_5 = 4 ), ( r_9 = 8 ) Тогда число ( x ) можно представить в виде: ( x = 4k_1 + 3 ) ( x = 5k_2 + 4 ) ( x = 9k_3 + 8 ) Заметим, что во всех случаях до делителя не хватает 1, чтобы получить целое число. То есть ( x + 1 ) делится на 4, 5 и 9. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4, 5 и 9 равно 180. ( x + 1 = 180n ), где ( n ) - целое число. ( x = 180n - 1 ) Найдем остаток от деления ( x ) на 15: ( x equiv 180n - 1 pmod{15} ) ( 180 ) делится на 15, так как ( 180 = 15 cdot 12 ), следовательно, ( 180n ) тоже делится на 15. ( x equiv -1 pmod{15} ) Так как остаток не может быть отрицательным, прибавим 15: ( x equiv -1 + 15 pmod{15} ) ( x equiv 14 pmod{15} ) Ответ: 14