Вараалт 1 1. АВ И АС - отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см. 2. Дано: ОАВ: UBC = 11 : 12 (рис. 8.178). Найти: ∠BCA, BAC. 3 Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 16/2. Найдите длину стороны этого квадрата. 4 A LABD = 260 LCAD = 330 Найдите: ДАВС C

Решение:

1. 1. Задача про касательные:

   Так как AB и AC - отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки A, то AB = AC. По условию AB = 12 см, значит, AC = 12 см.

   Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому OB ⊥ AB. Треугольник OAB - прямоугольный, с гипотенузой AO.

   По теореме Пифагора в треугольнике OAB:

   \[ AO^2 = OB^2 + AB^2 \]

   \[ AO^2 = 9^2 + 12^2 \]

   \[ AO^2 = 81 + 144 \]

   \[ AO^2 = 225 \]

   \[ AO = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]

   Ответ: AC = 12 см, AO = 15 см.

2. 2. Задача про углы в треугольнике:

   В данной задаче не хватает данных для полного решения. Отношение углов OAB и OBC = 11:12 не дает достаточной информации для нахождения углов BCA и BAC без дополнительных условий или рисунка, соответствующего этому соотношению. Рисунок 8.178 отсутствует.

3. 3. Задача про квадрат и описанную окружность:

   Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Обозначим сторону квадрата как 'a', а диагональ как 'd'.

   По условию, радиус (R) описанной окружности равен $$16\sqrt{2}$$ см.

   Следовательно, диагональ квадрата $$d = 2 \times R = 2 \times 16\sqrt{2} = 32\sqrt{2}$$ см.

   В квадрате диагональ связана со стороной соотношением $$d = a\sqrt{2}$$.

   Подставляем значение диагонали:

   \[ 32\sqrt{2} = a\sqrt{2} \]

   Разделим обе части на $$\sqrt{2}$$:

   \[ a = 32 \text{ см} \]

   Ответ: 32 см.

4. 4. Задача про вписанный четырехугольник:

   ABCD - вписанный четырехугольник. В таком четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

   По условию:

   • \[ \angle ABD = 26° \]
   • \[ \angle CAD = 33° \]

   Нам нужно найти \[ \angle ABC \].

   \[ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \]

   Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы \[ \angle CAD \] и \[ \angle CBD \] опираются на одну дугу CD, следовательно, \[ \angle CBD = \angle CAD = 33° \].

   Углы \[ \angle BAC \] и \[ \angle BDC \] опираются на одну дугу BC, следовательно, \[ \angle BAC = \angle BDC \].

   Углы \[ \angle ABD \] и \[ \angle ACD \] опираются на одну дугу AD, следовательно, \[ \angle ACD = \angle ABD = 26° \].

   Теперь рассмотрим угол \[ \angle ABC \]. Мы знаем \[ \angle ABD = 26° \] и нашли \[ \angle CBD = 33° \].

   \[ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 26° + 33° = 59° \]

   Ответ: 59°.