1 вариант • 1. Решите уравнение: a) 2x²+7x-9=0; 6) 3x² = 18x; в) 100х²-16=0; г) х²-16х+63=0. a) x²/x²-9 = 12-x/x²-9; б) 6/x-2 + 5/x= 3. 3. Сократите дробь 6х²-x-1/9x²-1 4. Один из корней уравнения х²+kx+45=0 равен 5. Найдите другой корень и коэффициент к. Дополнительное задание 5. Сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 369 см². Найдите стороны прямоугольника, если одна из его сторон на 3 см меньше другой.

1 вариант

• 1. Решите уравнение:

a) 2x²+7x-9=0;

Решим квадратное уравнение вида $$ax^2+bx+c=0$$, где a=2, b=7, c=-9.

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$.

Найдем корни уравнения по формулам $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$.

$$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

$$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$$

Ответ: $$x_1=1$$, $$x_2=-4.5$$

б) 3x² = 18x;

$$3x^2 - 18x = 0$$

$$3x(x - 6) = 0$$

$$3x = 0$$ или $$x - 6 = 0$$

$$x_1 = 0$$ или $$x_2 = 6$$

Ответ: $$x_1=0$$, $$x_2=6$$

в) 100х²-16=0;

$$100x^2 = 16$$

$$x^2 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$$

$$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$$

$$x_1 = \frac{2}{5} = 0.4$$

$$x_2 = -\frac{2}{5} = -0.4$$

Ответ: $$x_1=0.4$$, $$x_2=-0.4$$

г) х²-16х+63=0.

Решим квадратное уравнение вида $$ax^2+bx+c=0$$, где a=1, b=-16, c=63.

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$$.

Найдем корни уравнения по формулам $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$.

$$x_1 = \frac{16 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{16 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Ответ: $$x_1=9$$, $$x_2=7$$

a) x²/x²-9 = 12-x/x²-9;

$$\frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}$$

Так как знаменатели равны, можем приравнять числители:

$$x^2 = 12-x$$

$$x^2 + x - 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение вида $$ax^2+bx+c=0$$, где a=1, b=1, c=-12.

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$.

Найдем корни уравнения по формулам $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$.

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Проверим ОДЗ: знаменатель не должен быть равен 0.

$$x^2 - 9
eq 0$$

$$x^2
eq 9$$

$$x
eq \pm 3$$

Значит, x=3 не является решением.

Ответ: $$x=-4$$

б) 6/x-2 + 5/x= 3.

$$\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3$$

$$\frac{6x + 5(x-2)}{x(x-2)} = 3$$

$$\frac{6x + 5x - 10}{x^2 - 2x} = 3$$

$$\frac{11x - 10}{x^2 - 2x} = 3$$

$$11x - 10 = 3(x^2 - 2x)$$

$$11x - 10 = 3x^2 - 6x$$

$$3x^2 - 17x + 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение вида $$ax^2+bx+c=0$$, где a=3, b=-17, c=10.

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169$$.

Найдем корни уравнения по формулам $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$.

$$x_1 = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5$$

$$x_2 = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Проверим ОДЗ: знаменатель не должен быть равен 0.

$$x
eq 0$$

$$x
eq 2$$

Ответ: $$x_1=5$$, $$x_2=\frac{2}{3}$$

3. Сократите дробь 6х²-x-1/9x²-1

$$\frac{6x^2 - x - 1}{9x^2 - 1}$$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

$$6x^2 - x - 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение вида $$ax^2+bx+c=0$$, где a=6, b=-1, c=-1.

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$.

Найдем корни уравнения по формулам $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$.

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$

$$6x^2 - x - 1 = 6(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3}) = (2x - 1)(3x + 1)$$

$$9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)$$

$$\frac{(2x - 1)(3x + 1)}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{2x - 1}{3x - 1}$$

Ответ: $$\frac{2x - 1}{3x - 1}$$

4. Один из корней уравнения х²+kx+45=0 равен 5. Найдите другой корень и коэффициент к.

Пусть $$x_1 = 5$$. Тогда $$x_1 \cdot x_2 = 45$$ и $$x_1 + x_2 = -k$$

$$5 \cdot x_2 = 45$$

$$x_2 = \frac{45}{5} = 9$$

$$5 + 9 = -k$$

$$14 = -k$$

$$k = -14$$

Ответ: Другой корень $$x_2 = 9$$, коэффициент $$k = -14$$.

Дополнительное задание

5. Сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 369 см². Найдите стороны прямоугольника, если одна из его сторон на 3 см меньше другой.

Пусть одна сторона $$x$$, тогда другая $$x-3$$. Сумма площадей квадратов равна $$x^2 + (x-3)^2 = 369$$.

$$x^2 + (x^2 - 6x + 9) = 369$$

$$2x^2 - 6x + 9 - 369 = 0$$

$$2x^2 - 6x - 360 = 0$$

$$x^2 - 3x - 180 = 0$$

Решим квадратное уравнение вида $$ax^2+bx+c=0$$, где a=1, b=-3, c=-180.

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$$.

Найдем корни уравнения по формулам $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$.

$$x_1 = \frac{3 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

$$x_2 = \frac{3 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$

Так как длина не может быть отрицательной, $$x = 15$$.

Тогда другая сторона $$x-3 = 15-3 = 12$$.

Ответ: Стороны прямоугольника 15 см и 12 см.