1 вариант •1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (8), если б₁ = 1500 и q = -0,1. •2. Последовательность (6) сия, в которой в₁ = 18 и q = √3. Найдите в₁- •3. Найдите сумму первых шести членов геометриче- ской прогрессии (6), в которой b₁ = 8 и q= 1 4. Известны два члена геометрической прогрессии: b₁ = 2 и b = 200. Найдите ее первый член. 4 5. Сумма первых четырех членов геометрической про- -грессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найди- те сумму первых восьми членов этой прогрессии. 2 вариант

1. Найдем седьмой член геометрической прогрессии.

Смотри, тут всё просто: используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 * q^{n-1} \]

• В нашем случае:
• \( b_1 = 1500 \)
• \( q = -0,1 \)
• \( n = 7 \)

Подставляем значения в формулу:

\[ b_7 = 1500 * (-0,1)^{7-1} = 1500 * (-0,1)^6 = 1500 * 0,000001 = 0,0015 \]

Ответ: \( b_7 = 0,0015 \)

2. Найдем первый член геометрической прогрессии.

Логика такая: используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 * q^{n-1} \]

В нашем случае нам известны \( b_4 = 18 \) и \( q = \sqrt{3} \). Тогда:

\[ b_4 = b_1 * q^{4-1} \]

\[ 18 = b_1 * (\sqrt{3})^3 \]

\[ 18 = b_1 * 3\sqrt{3} \]

Отсюда можно выразить \( b_1 \):

\[ b_1 = \frac{18}{3\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\[ b_1 = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \]

Ответ: \( b_1 = 2\sqrt{3} \)

3. Найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии.

Смотри, тут всё просто: используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии: \[ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \]

• В нашем случае:
• \( b_1 = 8 \)
• \( q = \frac{1}{2} \)
• \( n = 6 \)

Подставляем значения в формулу:

\[ S_6 = \frac{8(1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8(1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = \frac{8(\frac{63}{64})}{\frac{1}{2}} = 8 * \frac{63}{64} * 2 = \frac{63}{4} = 15,75 \]

Ответ: \( S_6 = 15,75 \)

4. Найдем первый член геометрической прогрессии.

Разбираемся: Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 * q^{n-1} \)

• Нам известны \( b_4 = 2 \) и \( b_6 = 200 \). Можем записать:
• \( b_4 = b_1 * q^3 = 2 \)
• \( b_6 = b_1 * q^5 = 200 \)

Разделим второе уравнение на первое:

\[ \frac{b_1 * q^5}{b_1 * q^3} = \frac{200}{2} \]

\[ q^2 = 100 \]

Значит, \( q = \pm 10 \). Рассмотрим оба случая:

1) Если \( q = 10 \), то \( b_1 * 10^3 = 2 \), откуда \( b_1 = \frac{2}{1000} = 0,002 \)

2) Если \( q = -10 \), то \( b_1 * (-10)^3 = 2 \), откуда \( b_1 = \frac{2}{-1000} = -0,002 \)

Ответ: \( b_1 = 0,002 \) или \( b_1 = -0,002 \)

5. Найдем сумму первых восьми членов геометрической прогрессии.

Логика такая:

• Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \)
• Нам известно, что сумма первых четырех членов равна 45, и знаменатель прогрессии равен 2.
• Следовательно, \( S_4 = \frac{b_1(2^4 - 1)}{2 - 1} = 45 \)
• \( \frac{b_1(16 - 1)}{1} = 45 \)
• \( 15b_1 = 45 \)
• \( b_1 = 3 \)

Теперь найдем сумму первых восьми членов:

\[ S_8 = \frac{3(2^8 - 1)}{2 - 1} = 3(256 - 1) = 3 * 255 = 765 \]

Ответ: \( S_8 = 765 \)