ВАРИАНТ 4 1. \frac{x-4}{x-3} + \frac{6}{x^2-9} = 2; 2. \frac{x-7}{x-5} + \frac{20}{x^2-25} = \frac{6}{x+5}; 3. \frac{8}{x^2-4} + \frac{x-4}{x+2} = \frac{x-4}{2-x}; 4. \frac{x+1}{x-2} + \frac{x-2}{x+3} = \frac{15}{(x-2)(x+3)}

Решение:

1. $$\frac{x-4}{x-3} + \frac{6}{x^2-9} = 2$$ ОДЗ: $$x
   e 3; x
   e -3$$ $$\frac{x-4}{x-3} + \frac{6}{(x-3)(x+3)} = 2$$ Умножим обе части уравнения на $$(x-3)(x+3)$$, чтобы избавиться от знаменателей: $$(x-4)(x+3) + 6 = 2(x-3)(x+3)$$ $$x^2 - 4x + 3x - 12 + 6 = 2(x^2 - 9)$$ $$x^2 - x - 6 = 2x^2 - 18$$ $$0 = x^2 + x - 12$$ $$x^2 + x - 12 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Так как $$x
   e 3$$, то корень $$x_1 = 3$$ не подходит. Ответ: x = -4
2. $$\frac{x-7}{x-5} + \frac{20}{x^2-25} = \frac{6}{x+5}$$ ОДЗ: $$x
   e 5; x
   e -5$$ $$\frac{x-7}{x-5} + \frac{20}{(x-5)(x+5)} = \frac{6}{x+5}$$ Умножим обе части уравнения на $$(x-5)(x+5)$$, чтобы избавиться от знаменателей: $$(x-7)(x+5) + 20 = 6(x-5)$$ $$x^2 - 7x + 5x - 35 + 20 = 6x - 30$$ $$x^2 - 2x - 15 = 6x - 30$$ $$x^2 - 8x + 15 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$$ $$x_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ Так как $$x
   e 5$$, то корень $$x_1 = 5$$ не подходит. Ответ: x = 3
3. $$\frac{8}{x^2-4} + \frac{x-4}{x+2} = \frac{x-4}{2-x}$$ ОДЗ: $$x
   e 2; x
   e -2$$ $$\frac{8}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-4}{x+2} = -\frac{x-4}{x-2}$$ Умножим обе части уравнения на $$(x-2)(x+2)$$, чтобы избавиться от знаменателей: $$8 + (x-4)(x-2) = -(x-4)(x+2)$$ $$8 + x^2 - 4x - 2x + 8 = -(x^2 - 4x + 2x - 8)$$ $$x^2 - 6x + 16 = -x^2 + 2x + 8$$ $$2x^2 - 8x + 8 = 0$$ $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ $$(x-2)^2 = 0$$ $$x = 2$$ Так как $$x
   e 2$$, то корней нет. Ответ: нет корней
4. $$\frac{x+1}{x-2} + \frac{x-2}{x+3} = \frac{15}{(x-2)(x+3)}$$ ОДЗ: $$x
   e 2; x
   e -3$$ Умножим обе части уравнения на $$(x-2)(x+3)$$, чтобы избавиться от знаменателей: $$(x+1)(x+3) + (x-2)(x-2) = 15$$ $$x^2 + x + 3x + 3 + x^2 - 2x - 2x + 4 = 15$$ $$2x^2 + 7 - 15 = 0$$ $$2x^2 - 8 = 0$$ $$x^2 - 4 = 0$$ $$x^2 = 4$$ $$x_1 = 2$$ $$x_2 = -2$$ Так как $$x
   e 2$$, то корень $$x_1 = 2$$ не подходит. Ответ: x = -2