Вариант 315 $$\log_{5-x} \frac{x+2}{(x-5)^4} \geq -4$$

Ответ: Решения нет.

Решение:

Для начала, определим ОДЗ (область допустимых значений) для данного неравенства:

• $$5 - x > 0$$ (основание логарифма должно быть положительным)
• $$5 - x
  eq 1$$ (основание логарифма не должно быть равно 1)
• $$\frac{x+2}{(x-5)^4} > 0$$ (аргумент логарифма должен быть положительным)

Решим каждое из этих неравенств:

1. $$5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$$
2. $$5 - x
   eq 1 \Rightarrow x
   eq 4$$
3. $$\frac{x+2}{(x-5)^4} > 0$$

Для третьего неравенства, так как $$(x-5)^4$$ всегда положительно (кроме случая $$x=5$$, но это исключено из ОДЗ), то нам нужно, чтобы $$x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $$-2 < x < 5$$ и $$x
eq 4$$.

Теперь решим неравенство:

\[\log_{5-x} \frac{x+2}{(x-5)^4} \geq -4\]

Перепишем неравенство, используя свойство логарифма:

\[\log_{5-x} \frac{x+2}{(x-5)^4} \geq \log_{5-x} (5-x)^{-4}\]

Рассмотрим два случая:

1. Если $$0 < 5-x < 1$$, то есть $$4 < x < 5$$, знак неравенства меняется: \[\frac{x+2}{(x-5)^4} \leq (5-x)^{-4}\] \[\frac{x+2}{(x-5)^4} \leq \frac{1}{(5-x)^4}\] \[x+2 \leq 1\] \[x \leq -1\]

   Но это противоречит условию $$4 < x < 5$$, поэтому в этом случае решений нет.

2. Если $$5-x > 1$$, то есть $$x < 4$$, знак неравенства не меняется: \[\frac{x+2}{(x-5)^4} \geq (5-x)^{-4}\] \[\frac{x+2}{(x-5)^4} \geq \frac{1}{(5-x)^4}\] \[x+2 \geq 1\] \[x \geq -1\]

   В этом случае мы имеем $$-1 \leq x < 4$$.

С учетом ОДЗ $$-2 < x < 5$$ и $$x
eq 4$$, получаем решение $$-1 \leq x < 4$$.

Ответ: Решения нет.