Вариант 3 • 1. Докажите неравенство: a) (x-3)>x(x-6); 6) y²+1>2(59-12). • 2. Известно, что х<у. Сравните: a) 8x в By: 6) -1,4г и -1,4% в) -5,бу и -5,6x, Результат сравнения запишите в виде неравенства. 3. Известно, что 3,6 <V13<3,7. Оцените: a) 3/13; 6)-2/13. 4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами г см и у см, если известно, что 1.1<<1.2. 1,5<p<1,6. 5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего на них с произведением двух других.

Ответ: Решения задач представлены ниже.

1. Докажите неравенство:

a) \[(x-3)^2 > x(x-6)\]

• Раскрываем скобки: \[x^2 - 6x + 9 > x^2 - 6x\]
• Упрощаем неравенство: \[9 > 0\]
• Так как 9 > 0 всегда верно, то неравенство доказано.

б) \[y^2 + 1 > 2(5y - 12)\]

• Раскрываем скобки: \[y^2 + 1 > 10y - 24\]
• Переносим все в одну сторону: \[y^2 - 10y + 25 > 0\]
• Замечаем, что это полный квадрат: \[(y - 5)^2 > 0\]
• Квадрат любого числа всегда больше 0, кроме случая, когда y = 5. Значит, неравенство верно при \(y
  eq 5\).

2. Известно, что \(x < y\). Сравните:

a) \(8x\) и \(8y\)

• Так как \(x < y\), то при умножении на положительное число 8 знак неравенства сохраняется: \(8x < 8y\)

б) \(-1.4x\) и \(-1.4y\)

• Так как \(x < y\), то при умножении на отрицательное число -1.4 знак неравенства меняется: \(-1.4x > -1.4y\)

в) \(-5.6y\) и \(-5.6x\)

• Так как \(x < y\), то при умножении на отрицательное число -5.6 знак неравенства меняется: \(-5.6y < -5.6x\)

3. Известно, что \(3.6 < \sqrt{13} < 3.7\). Оцените:

a) \(3\sqrt{13}\)

• Умножаем все части неравенства на 3: \[3 \cdot 3.6 < 3\sqrt{13} < 3 \cdot 3.7\]
• Получаем: \[10.8 < 3\sqrt{13} < 11.1\]

б) \(-2\sqrt{13}\)

• Умножаем все части неравенства на -2 (знак меняется): \[-2 \cdot 3.7 < -2\sqrt{13} < -2 \cdot 3.6\]
• Получаем: \[-7.4 < -2\sqrt{13} < -7.2\]

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами \(x\) см и \(y\) см, если известно, что \(1.1 < x < 1.2\) и \(1.5 < y < 1.6\).

• Периметр: \(P = 2(x + y)\)
• Минимальное значение: \(2(1.1 + 1.5) = 2 \cdot 2.6 = 5.2\)
• Максимальное значение: \(2(1.2 + 1.6) = 2 \cdot 2.8 = 5.6\)
• \(5.2 < P < 5.6\)
• Площадь: \(S = x \cdot y\)
• Минимальное значение: \(1.1 \cdot 1.5 = 1.65\)
• Максимальное значение: \(1.2 \cdot 1.6 = 1.92\)
• \(1.65 < S < 1.92\)

5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других.

• Пусть числа: \(n-1, n, n+1\)
• Квадрат среднего: \(n^2\)
• Произведение двух других: \((n-1)(n+1) = n^2 - 1\)
• Сравнение: \(n^2 > n^2 - 1\)
• Квадрат среднего числа всегда больше произведения двух других.

Ответ: Решения задач представлены выше.