Вариант 1 • 1. Докажите неравенство: a) (x-2)²>x (x-4); б) а²+1≥2 (3a-4). • 2. Известно, что а<b. Сравните: а) 21а и 216; б) -3,2а и -3,2b; в) 1,56 и 1,5а. Результат сравнения запишите в виде неравенства. 3. Известно, что 2,6<√7<2,7. Оцените: a) 2√7; 6) −√7. 4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами асми в см, если известно, что 2,6 <а <2,7, 1,2<b<1,3. 5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и то ж число а. Сравните произведение крайних членов получившей последовательности с произведением средних членов.

1. Докажите неравенство:

a) \((x-2)^2 > x(x-4)\)

• Раскрываем скобки: \(x^2 - 4x + 4 > x^2 - 4x\)
• Упрощаем, перенося все в левую часть: \(x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4x > 0\)
• Сокращаем подобные члены: \(4 > 0\)

Так как 4 всегда больше 0, неравенство доказано.

б) \(a^2 + 1 \ge 2(3a - 4)\)

• Раскрываем скобки: \(a^2 + 1 \ge 6a - 8\)
• Переносим все в левую часть: \(a^2 - 6a + 9 \ge 0\)
• Замечаем, что это полный квадрат: \((a-3)^2 \ge 0\)

Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, неравенство доказано.

2. Известно, что \(a < b\). Сравните:

a) \(21a \) и \(21b\)

• Так как \(a < b\) и 21 > 0, то \(21a < 21b\).

Результат сравнения: \(21a < 21b\)

б) \(-3,2a \) и \(-3,2b\)

• Так как \(a < b\) и -3,2 < 0, то \(-3,2a > -3,2b\).

Результат сравнения: \(-3,2a > -3,2b\)

в) \(1,5b \) и \(1,5a\)

• Так как \(a < b\) и 1,5 > 0, то \(1,5a < 1,5b\).

Результат сравнения: \(1,5b > 1,5a\)

3. Известно, что \(2,6 < \sqrt{7} < 2,7\). Оцените:

a) \(2\sqrt{7}\)

• Умножаем неравенство \(2,6 < \sqrt{7} < 2,7\) на 2:
• \(2 \cdot 2,6 < 2\sqrt{7} < 2 \cdot 2,7\)
• \(5,2 < 2\sqrt{7} < 5,4\)

Оценка: \(5,2 < 2\sqrt{7} < 5,4\)

б) \(-\sqrt{7}\)

• Умножаем неравенство \(2,6 < \sqrt{7} < 2,7\) на -1:
• \(-2,6 > -\sqrt{7} > -2,7\)
• Переписываем в обратном порядке: \(-2,7 < -\sqrt{7} < -2,6\)

Оценка: \(-2,7 < -\sqrt{7} < -2,6\)

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами \(a\) см и \(b\) см, если известно, что \(2,6 < a < 2,7\), \(1,2 < b < 1,3\).

• Периметр: \(P = 2(a+b)\)
• Суммируем неравенства для \(a\) и \(b\): \(2,6 + 1,2 < a + b < 2,7 + 1,3\)
• \(3,8 < a + b < 4\)
• Умножаем на 2: \(2 \cdot 3,8 < 2(a + b) < 2 \cdot 4\)
• \(7,6 < P < 8\)
• Площадь: \(S = a \cdot b\)
• Умножаем неравенства для \(a\) и \(b\): \(2,6 \cdot 1,2 < a \cdot b < 2,7 \cdot 1,3\)
• \(3,12 < S < 3,51\)

Оценка: Периметр: \(7,6 < P < 8\) см, Площадь: \(3,12 < S < 3,51\) см²

5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и то же число \(a\). Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

• Произведение крайних членов: \((2+a)(5+a) = 10 + 7a + a^2\)
• Произведение средних членов: \((3+a)(4+a) = 12 + 7a + a^2\)
• Сравним: \(10 + 7a + a^2 < 12 + 7a + a^2\)
• Упрощаем: \(10 < 12\)

Так как \(10 < 12\), произведение крайних членов меньше произведения средних членов.