Вариант 4 • 1. Докажите неравенство: a) (x+1)²>x(x+2); б) a²+1>2(3a-4). • 2. Известно, что х>у. Сравните: а) 13х и 13y; б) -5,1х и – 5,1у; в) 2,6у и 2,6x. Результат сравнения запишите в виде неравенства. 3. Известно, что 3,3<√11 <3,4. Оцените: a) 5√11; б) -2√11. 4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами с см и в см, если известно, что 4,6 <c<4,7, 6,1<b<6,2. 5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и то же число т. Сравните произведение средних членов

Задание 1

Докажите неравенство:

a) \[(x+1)^2 > x(x+2)\]

Шаг 1: Раскрываем скобки:

\[x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x\]

Шаг 2: Упрощаем неравенство:

\[1 > 0\]

Неравенство верно, что и требовалось доказать.

б) \[a^2 + 1 > 2(3a - 4)\]

Шаг 1: Раскрываем скобки:

\[a^2 + 1 > 6a - 8\]

Шаг 2: Переносим все в левую часть:

\[a^2 - 6a + 9 > 0\]

Шаг 3: Замечаем полный квадрат:

\[(a - 3)^2 > 0\]

Квадрат любого числа всегда больше нуля (за исключением нуля), что и требовалось доказать.

Задание 2

Известно, что \(x > y\). Сравните:

a) \(13x\) и \(13y\)

Так как \(x > y\) и \(13 > 0\), то \(13x > 13y\)

б) \(-5.1x\) и \(-5.1y\)

Так как \(x > y\) и \(-5.1 < 0\), то \(-5.1x < -5.1y\)

в) \(2.6y\) и \(2.6x\)

Так как \(x > y\) и \(2.6 > 0\), то \(2.6y < 2.6x\)

Задание 3

Известно, что \(3.3 < \sqrt{11} < 3.4\). Оцените:

a) \(5\sqrt{11}\)

Умножаем все части неравенства на 5:

\[5 \cdot 3.3 < 5\sqrt{11} < 5 \cdot 3.4\]

\[16.5 < 5\sqrt{11} < 17\]

б) \(-2\sqrt{11}\)

Умножаем все части неравенства на -2 (знак неравенства меняется):

\[-2 \cdot 3.4 < -2\sqrt{11} < -2 \cdot 3.3\]

\[-6.8 < -2\sqrt{11} < -6.6\]

Задание 4

Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами \(c\) см и \(b\) см, если известно, что \(4.6 < c < 4.7\) и \(6.1 < b < 6.2\).

Периметр \(P = 2(c + b)\)

Складываем неравенства для \(c\) и \(b\):

\[4.6 + 6.1 < c + b < 4.7 + 6.2\]

\[10.7 < c + b < 10.9\]

Умножаем на 2:

\[21.4 < 2(c + b) < 21.8\]

Площадь \(S = c \cdot b\)

Умножаем неравенства для \(c\) и \(b\):

\[4.6 \cdot 6.1 < c \cdot b < 4.7 \cdot 6.2\]

\[28.06 < c \cdot b < 29.14\]

Задание 5

К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и то же число \(m\). Сравните произведение средних членов.

Средние члены: 5 и 4

Произведение средних членов до прибавления \(m\): \(5 \cdot 4 = 20\)

После прибавления \(m\): \((5+m)(4+m) = 20 + 9m + m^2\)

Поскольку \(m^2 + 9m > 0\) при \(m > 0\), произведение средних членов увеличится.

Цифровой атлет

Achievement unlocked: Домашка закрыта

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке