Вариант 2 • 1. Докажите неравенство: a) (x + 7)² > x (x + 14); б) b² +5 ≥ 10 (b-2). • 2. Известно, что а > в. Сравните: а) 18а и 18b; б) -6,7а и -6,7b; в) -3,76 и -3,7а. Результат сравнения запишите в виде неравенства. 3. Известно, что 3,1 < √10 < 3,2. Оцените: a) 3√10; б) -√10. 4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторона- ми а см и в см, если известно, что 1,5 < a < 1,6, 3,2 <b<3,3. 5. Даны четыре последовательных натуральных числа. Срав- ните произведение первого и последнего из них с произведением двух средних чисел.

Привет, ученики! Давайте разберем этот вариант контрольной работы. **1. Докажите неравенство:** а) $$(x + 7)^2 > x(x + 14)$$ Разложим квадрат суммы: $$x^2 + 14x + 49 > x^2 + 14x$$ Вычтем из обеих частей $$x^2 + 14x$$: $$49 > 0$$. Так как $$49 > 0$$ всегда верно, то исходное неравенство доказано. б) $$b^2 + 5 \ge 10(b - 2)$$ Раскроем скобки: $$b^2 + 5 \ge 10b - 20$$ Перенесем все в левую часть: $$b^2 - 10b + 25 \ge 0$$ Заметим, что левая часть - это полный квадрат: $$(b - 5)^2 \ge 0$$ Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство верно для всех $$b$$. Следовательно, исходное неравенство доказано. **2. Известно, что $$a > b$$. Сравните:** а) $$18a$$ и $$18b$$ Так как $$a > b$$ и $$18 > 0$$, то $$18a > 18b$$. б) $$-6,7a$$ и $$-6,7b$$ Так как $$a > b$$ и $$-6,7 < 0$$, то $$-6,7a < -6,7b$$ (при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется). в) $$-3,7b$$ и $$-3,7a$$ Так как $$a > b$$, то $$b < a$$. Умножим обе части на $$-3,7$$: $$-3,7b > -3,7a$$ (знак неравенства меняется). **3. Известно, что $$3,1 < \sqrt{10} < 3,2$$. Оцените:** а) $$3\sqrt{10}$$ Умножим все части неравенства $$3,1 < \sqrt{10} < 3,2$$ на $$3$$: $$3 \cdot 3,1 < 3\sqrt{10} < 3 \cdot 3,2$$ $$9,3 < 3\sqrt{10} < 9,6$$ б) $$-\sqrt{10}$$ Умножим все части неравенства $$3,1 < \sqrt{10} < 3,2$$ на $$-1$$: $$-3,1 > -\sqrt{10} > -3,2$$ Перепишем в стандартном виде: $$-3,2 < -\sqrt{10} < -3,1$$ **4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами $$a$$ см и $$b$$ см, если известно, что $$1,5 < a < 1,6$$, $$3,2 < b < 3,3$$.** Периметр $$P = 2(a + b)$$. Сложим неравенства для $$a$$ и $$b$$: $$1,5 + 3,2 < a + b < 1,6 + 3,3$$ $$4,7 < a + b < 4,9$$ Умножим на 2: $$2 \cdot 4,7 < 2(a + b) < 2 \cdot 4,9$$ $$9,4 < P < 9,8$$ Площадь $$S = a \cdot b$$. Перемножим неравенства для $$a$$ и $$b$$: $$1,5 \cdot 3,2 < a \cdot b < 1,6 \cdot 3,3$$ $$4,8 < S < 5,28$$ **5. Даны четыре последовательных натуральных числа. Сравните произведение первого и последнего из них с произведением двух средних чисел.** Пусть эти числа $$n, n+1, n+2, n+3$$. Произведение первого и последнего: $$n(n+3) = n^2 + 3n$$ Произведение двух средних: $$(n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2$$ Сравним: $$n^2 + 3n < n^2 + 3n + 2$$. Значит, произведение первого и последнего меньше произведения двух средних. Надеюсь, это поможет вам разобраться с заданиями! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.