Вариант 3 • 1. Решите неравенство: a) x>1; 4 б) 1-6x > 0; в) 5(у 1,4) - 6 > 4y - 1,5. 2. При каких т значение дроби т+1 ветствующего значения выражения т-6? • 3. Решите систему неравенств: 3x-9<0, a) 5x+2>0; 15-x<14, б) 4-2x<5. К-8 (§ 11) меньше соот- 3 4. Найдите целые решения системы неравенств 5(1-2x)<2x-4, 2,5+x. 5. При каких значениях а имеет смысл выражение 12-3a+a+2? 6. При каких значениях а множеством решений нера- венства 5x-1<4 ROTORKUR является числовой промежуток (-∞; 2)? 108

1. Решите неравенство:

a) \[\frac{1}{4}x > 1;\]

Умножаем обе части неравенства на 4:

\[x > 4.\]

б) \[1 - 6x > 0;\]

Вычитаем 1 из обеих частей:

\[-6x > -1;\]

Делим обе части на -6 (знак неравенства меняется):

\[x < \frac{1}{6}.\]

в) \[5(y - 1.4) - 6 > 4y - 1.5;\]

Раскрываем скобки:

\[5y - 7 - 6 > 4y - 1.5;\]

\[5y - 13 > 4y - 1.5;\]

Вычитаем 4y из обеих частей:

\[y - 13 > -1.5;\]

Прибавляем 13 к обеим частям:

\[y > 11.5.\]

2. При каких m значение дроби \(\frac{m+1}{3}\) меньше соответствующего значения выражения \(m - 6\)?

Составляем неравенство:

\[\frac{m+1}{3} < m - 6;\]

Умножаем обе части на 3:

\[m + 1 < 3m - 18;\]

Вычитаем m из обеих частей:

\[1 < 2m - 18;\]

Прибавляем 18 к обеим частям:

\[19 < 2m;\]

Делим обе части на 2:

\[m > \frac{19}{2};\]

\[m > 9.5.\]

3. Решите систему неравенств:

a) \[\begin{cases} 3x - 9 < 0, \\ 5x + 2 > 0. \end{cases}\]

Решаем первое неравенство:

\[3x < 9;\]

\[x < 3.\]

Решаем второе неравенство:

\[5x > -2;\]

\[x > -\frac{2}{5};\]

\[x > -0.4.\]

Решение системы: \[-0.4 < x < 3.\]

б) \[\begin{cases} 15 - x < 14, \\ 4 - 2x < 5. \end{cases}\]

Решаем первое неравенство:

\[-x < -1;\]

\[x > 1.\]

Решаем второе неравенство:

\[-2x < 1;\]

\[x > -\frac{1}{2};\]

\[x > -0.5.\]

Решение системы: \[x > 1.\]

4. Найдите целые решения системы неравенств

\[\begin{cases} 5(1 - 2x) < 2x - 4, \\ 2.5 + \frac{x}{2} > x. \end{cases}\]

Решаем первое неравенство:

\[5 - 10x < 2x - 4;\]

\[-12x < -9;\]

\[x > \frac{9}{12};\]

\[x > \frac{3}{4};\]

\[x > 0.75.\]

Решаем второе неравенство:

\[2.5 > x - \frac{x}{2};\]

\[2.5 > \frac{x}{2};\]

\[5 > x;\]

\[x < 5.\]

Решение системы: \[0.75 < x < 5.\]

Целые решения: 1, 2, 3, 4.

5. При каких значениях a имеет смысл выражение

\[\sqrt{12 - 3a} + \sqrt{a + 2}?\]

Необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными:

\[\begin{cases} 12 - 3a \geq 0, \\ a + 2 \geq 0. \end{cases}\]

Решаем первое неравенство:

\[-3a \geq -12;\]

\[a \leq 4.\]

Решаем второе неравенство:

\[a \geq -2.\]

Решение системы: \[-2 \leq a \leq 4.\]

6. При каких значениях a множеством решений неравенства

\[5x - 1 < \frac{a}{4}\]

является числовой промежуток \[(-\infty; 2)?\]

Решаем неравенство:

\[5x < \frac{a}{4} + 1;\]

\[x < \frac{a}{20} + \frac{1}{5}.\]

Из условия следует, что \(\frac{a}{20} + \frac{1}{5} = 2\).

Решаем уравнение относительно a:

\[\frac{a}{20} = 2 - \frac{1}{5};\]

\[\frac{a}{20} = \frac{9}{5};\]

\[a = \frac{9}{5} \cdot 20;\]

\[a = 36.\]