Вариант 4 • 1. Решите неравенство: 1 a) x < 2; 8 б) 2-5x < 0; в) 3(x1,5)-4 < 4x + 1,5. 2. При каких а значение выражения а + 6 меньше со- ответствующего значения дроби а+2? 4 • 3. Решите систему неравенств: 6x-12>0, a) 2x-3>0; 26-x<25, б) 2x+7<13. 4. Найдите целые решения системы неравенств 1-5x<4(1-x), 3,5+x>2x. 4 5. При каких значениях т имеет смысл выражение 15-5m+4+m? 6. При каких значениях в множеством решений не- равенства b 6x+11> 4 является числовой промежуток (1; +∞)?

1. Решите неравенство:

• a) \[\frac{1}{8}x < 2\]

  Умножаем обе части на 8:

  \[x < 16\]

• б) \[2 - 5x < 0\]

  Переносим 2 в правую часть:

  \[-5x < -2\]

  Делим обе части на -5 (меняем знак неравенства):

  \[x > \frac{2}{5}\]

• в) \[3(x - 1.5) - 4 < 4x + 1.5\]

  Раскрываем скобки:

  \[3x - 4.5 - 4 < 4x + 1.5\]

  \[3x - 8.5 < 4x + 1.5\]

  Переносим члены с x в одну сторону, числа в другую:

  \[3x - 4x < 1.5 + 8.5\]

  \[-x < 10\]

  Умножаем обе части на -1 (меняем знак неравенства):

  \[x > -10\]

2. При каких a значение выражения a + 6 меньше соответствующего значения дроби \[\frac{a+2}{4}\]?

Составляем неравенство:

\[a + 6 < \frac{a+2}{4}\]

Умножаем обе части на 4:

\[4(a + 6) < a + 2\]

\[4a + 24 < a + 2\]

Переносим члены с a в одну сторону, числа в другую:

\[4a - a < 2 - 24\]

\[3a < -22\]

Делим обе части на 3:

\[a < -\frac{22}{3}\]

3. Решите систему неравенств:

• a)

  \[\begin{cases} 6x - 12 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases}\]

  Решаем первое неравенство:

  \[6x > 12\]

  \[x > 2\]

  Решаем второе неравенство:

  \[2x > 3\]

  \[x > \frac{3}{2}\]

  Решением системы является пересечение решений, то есть \[x > 2\]

• б)

  \[\begin{cases} 26 - x < 25 \\ 2x + 7 < 13 \end{cases}\]

  Решаем первое неравенство:

  \[-x < -1\]

  \[x > 1\]

  Решаем второе неравенство:

  \[2x < 6\]

  \[x < 3\]

  Решением системы является пересечение решений, то есть \[1 < x < 3\]

4. Найдите целые решения системы неравенств

\[\begin{cases} 1 - 5x < 4(1 - x) \\ 3.5 + \frac{x}{4} > 2x \end{cases}\]

Решаем первое неравенство:

\[1 - 5x < 4 - 4x\]

\[-5x + 4x < 4 - 1\]

\[-x < 3\]

\[x > -3\]

Решаем второе неравенство:

\[3.5 + \frac{x}{4} > 2x\]

\[\frac{x}{4} - 2x > -3.5\]

\[\frac{x - 8x}{4} > -3.5\]

\[\frac{-7x}{4} > -3.5\]

\[-7x > -14\]

\[x < 2\]

Решением системы является пересечение решений, то есть \[-3 < x < 2\]

Целые решения: -2, -1, 0, 1

5. При каких значениях m имеет смысл выражение \[\sqrt{15 - 5m} + \sqrt{4 + m}\]?

Выражение имеет смысл, если оба подкоренных выражения неотрицательны:

\[\begin{cases} 15 - 5m \geq 0 \\ 4 + m \geq 0 \end{cases}\]

Решаем первое неравенство:

\[-5m \geq -15\]

\[m \leq 3\]

Решаем второе неравенство:

\[m \geq -4\]

Решением системы является пересечение решений, то есть \[-4 \leq m \leq 3\]

6. При каких значениях b множеством решений неравенства \[6x + 11 > \frac{b}{4}\] является числовой промежуток (1; +∞)?

Подставляем x = 1 в неравенство:

\[6(1) + 11 > \frac{b}{4}\]

\[17 > \frac{b}{4}\]

\[b < 68\]

Но, так как это интервал (1; +∞), то x = 1 не включается в решение. Значит, неравенство должно быть строгим при x = 1:

\[6x + 11 = \frac{b}{4}\] при x = 1

\[6(1) + 11 = \frac{b}{4}\]

\[17 = \frac{b}{4}\]

\[b = 68\]

Итак, \[b = 68\]