Вариант 1 • 1. Решите уравнение: a) \frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}; б) \frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3.

Ответ: a) x = 3; x = -4; б) x = 5; x = -2/3

a) Решение уравнения

Для решения уравнения \(\frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}\) сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

\[x^2 - 9 ≠ 0 \Rightarrow x ≠ ±3\]

Теперь, когда мы знаем, что \(x ≠ ±3\), можем решить уравнение:

\[\frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}\]

Умножаем обе части уравнения на \(x^2 - 9\) (учитывая, что \(x^2 - 9 ≠ 0\)):

\[x^2 = 12 - x\]

Переносим все члены в левую часть:

\[x^2 + x - 12 = 0\]

Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь удобно использовать теорему Виета:

\[x_1 + x_2 = -1\]

\[x_1 \cdot x_2 = -12\]

Подбираем корни: \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 3\).

Проверяем ОДЗ. \(x = 3\) не подходит, так как при этом знаменатель обращается в нуль. \(x = -4\) подходит.

б) Решение уравнения

Решим уравнение \(\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3\). Сначала определим ОДЗ:

\[x ≠ 2 \text{ и } x ≠ 0\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{6x + 5(x-2)}{x(x-2)} = 3\]

Упростим числитель:

\[\frac{6x + 5x - 10}{x(x-2)} = 3\]

\[\frac{11x - 10}{x(x-2)} = 3\]

Умножаем обе части на \(x(x-2)\):

\[11x - 10 = 3x(x-2)\]

\[11x - 10 = 3x^2 - 6x\]

Переносим все члены в правую часть:

\[3x^2 - 17x + 10 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169\]

\[x_1 = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5\]

\[x_2 = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\]

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: a) x = 3; x = -4; б) x = 5; x = -2/3