Вариант 1 • 1. Решите уравнение: a) x^2/x^2-9 = 12-x/x^2-9 ; б) 6/x-2 + 5/x =3. 2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одно длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути вело уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный пу тил времени на 10 мин меньше, чем на путь из А в В. Ск ростью ехал велосипедист из А в В?

Решение уравнения (а)

Давай решим уравнение \[\frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}.\]

Так как знаменатели одинаковые, мы можем приравнять числители: \[x^2 = 12 - x.\]

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \[x^2 + x - 12 = 0.\]

Решим это квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители: \[(x + 4)(x - 3) = 0.\]

Таким образом, у нас есть два возможных решения: \[x = -4\] или \[x = 3.\]

Теперь нам нужно проверить, не являются ли эти решения посторонними, то есть не обращают ли они знаменатель исходной дроби в нуль. Знаменатель равен \(x^2 - 9\), и он обращается в нуль при \(x = 3\) и \(x = -3\). Поэтому \(x = 3\) является посторонним корнем.

Следовательно, остается только одно решение: \[x = -4.\]

Ответ: x = -4

---

Решение уравнения (б)

Теперь решим уравнение \[\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3.\]

Приведем дроби к общему знаменателю: \[\frac{6x + 5(x-2)}{x(x-2)} = 3.\]

Раскроем скобки в числителе: \[\frac{6x + 5x - 10}{x(x-2)} = 3.\]

Упростим числитель: \[\frac{11x - 10}{x(x-2)} = 3.\]

Умножим обе части уравнения на \(x(x-2)\): \[11x - 10 = 3x(x-2).\]

Раскроем скобки в правой части: \[11x - 10 = 3x^2 - 6x.\]

Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \[3x^2 - 17x + 10 = 0.\]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169.\]

Найдем корни: \[x_1 = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5,\] \[x_2 = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.\]

Оба корня не обращают знаменатель в нуль, поэтому оба являются решениями.

Ответ: x = 5 и x = 2/3

---

Решение задачи про велосипедиста

Пусть \(v\) - скорость велосипедиста из A в B (в км/ч). Тогда время, которое он потратил на путь из A в B, равно \(t_1 = \frac{27}{v}\).

Обратный путь был короче на 7 км, то есть его длина составляла \(27 - 7 = 20\) км. Скорость на обратном пути была на 3 км/ч меньше, то есть \(v - 3\). Время на обратном пути составило \(t_2 = \frac{20}{v-3}\).

Известно, что время на обратном пути было на 10 минут меньше, чем на пути из A в B. Переведем 10 минут в часы: \(10 \text{ мин} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}\) часа. Таким образом, \[t_1 - t_2 = \frac{1}{6}.\]

Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\): \[\frac{27}{v} - \frac{20}{v-3} = \frac{1}{6}.\]

Приведем дроби к общему знаменателю: \[\frac{27(v-3) - 20v}{v(v-3)} = \frac{1}{6}.\]

Раскроем скобки в числителе: \[\frac{27v - 81 - 20v}{v(v-3)} = \frac{1}{6}.\]

Упростим числитель: \[\frac{7v - 81}{v(v-3)} = \frac{1}{6}.\]

Умножим обе части уравнения на \(6v(v-3)\): \[6(7v - 81) = v(v-3).\]

Раскроем скобки: \[42v - 486 = v^2 - 3v.\]

Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \[v^2 - 45v + 486 = 0.\]

Найдем дискриминант: \[D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 486 = 2025 - 1944 = 81.\]

Найдем корни: \[v_1 = \frac{45 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{45 + 9}{2} = \frac{54}{2} = 27,\] \[v_2 = \frac{45 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{45 - 9}{2} = \frac{36}{2} = 18.\]

Если скорость из A в B равна 27 км/ч, то на обратном пути скорость была бы 24 км/ч, что вполне возможно. Если же скорость из A в B равна 18 км/ч, то на обратном пути скорость была бы 15 км/ч, что тоже возможно.

Оба значения скорости подходят под условие задачи. Однако, если скорость на пути из A в B равна 18 км/ч, то время в пути составит \(\frac{27}{18} = 1.5\) часа, или 90 минут. Тогда время на обратном пути составит 80 минут, а скорость \(\frac{20}{\frac{80}{60}} = 15\) км/ч.

Ответ: 27 км/ч или 18 км/ч

Ты молодец! У тебя всё получится!