Вариант 2 • 1. Решите уравнение: a) 3x² + 13x – 10 = 0; б) 2x² - 3x = 0; в) 16х2 = 49; г) х² - 2х - 35 = 0. • 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его сторо- ны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см². 3. Один из корней уравнения х² + 11х + q = 0 равен -7. Най- дите другой корень и свободный член q.

Задание 1

Давай решим уравнения по порядку:

a) 3x² + 13x - 10 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5\]

Ответ: x₁ = 2/3, x₂ = -5

б) 2x² - 3x = 0

Вынесем x за скобки:

\[x(2x - 3) = 0\]

Тогда либо x = 0, либо 2x - 3 = 0:

\[2x = 3\]

\[x = \frac{3}{2} = 1.5\]

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 1.5

в) 16x² = 49

Преобразуем уравнение:

\[16x^2 - 49 = 0\]

\[(4x - 7)(4x + 7) = 0\]

Тогда либо 4x - 7 = 0, либо 4x + 7 = 0:

\[4x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{4} = 1.75\]

\[4x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{4} = -1.75\]

Ответ: x₁ = 1.75, x₂ = -1.75

г) x² - 2x - 35 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]

Ответ: x₁ = 7, x₂ = -5

Задание 2

Пусть стороны прямоугольника будут a и b. Известно, что периметр равен 30 см, а площадь 56 см². Тогда:

\[2(a + b) = 30\]

\[a + b = 15\]

\[a \cdot b = 56\]

Выразим a через b из первого уравнения:

\[a = 15 - b\]

Подставим во второе уравнение:

\[(15 - b) \cdot b = 56\]

\[15b - b^2 = 56\]

\[b^2 - 15b + 56 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1\]

\[b_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8\]

\[b_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

Если b = 8, то a = 15 - 8 = 7. Если b = 7, то a = 15 - 7 = 8.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.

Задание 3

Дано уравнение x² + 11x + q = 0 и один из корней равен -7. Пусть x₁ = -7. Используем теорему Виета:

\[x_1 + x_2 = -11\]

\[x_1 \cdot x_2 = q\]

Подставим x₁ = -7 в первое уравнение:

\[-7 + x_2 = -11\]

\[x_2 = -11 + 7 = -4\]

Теперь найдем q:

\[q = x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot (-4) = 28\]

Ответ: Другой корень равен -4, свободный член q равен 28.