Вариант 2 • 1. Решите уравнение: a) 3x² + 13x - 10 = 0; в) 16х2 = 49; 6) 2x² - 3x = 0; г) х² - 2х - 35 = 0. К-5 (§ 7, 8) • 2. Докажите тождество: 4x² + 27x + 18 = (4x + 3)(x+6). 3. Сократите дробь: x²-x-2 2x + 2 4. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника рав- на 56 см². 5. Один из корней уравнения х² + 11х + q = 0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

1. Решите уравнение:

а) \( 3x^2 + 13x - 10 = 0 \) \[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5 \] б) \( 2x^2 - 3x = 0 \) \[ x(2x - 3) = 0 \] \[ x_1 = 0 \] \[ 2x - 3 = 0 \implies x_2 = \frac{3}{2} = 1.5 \] в) \( 16x^2 = 49 \) \[ x^2 = \frac{49}{16} \] \[ x_1 = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4} = 1.75 \] \[ x_2 = -\sqrt{\frac{49}{16}} = -\frac{7}{4} = -1.75 \] г) \( x^2 - 2x - 35 = 0 \) \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

2. Докажите тождество: \( 4x^2 + 27x + 18 = (4x + 3)(x + 6) \)

Раскроем скобки в правой части уравнения: \[ (4x + 3)(x + 6) = 4x^2 + 24x + 3x + 18 = 4x^2 + 27x + 18 \] Левая и правая части уравнения равны, следовательно, тождество доказано.

3. Сократите дробь: \( \frac{x^2 - x - 2}{2x + 2} \)

Разложим числитель на множители: \( x^2 - x - 2 = 0 \) \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] Следовательно, \( x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \) Разложим знаменатель на множители: \( 2x + 2 = 2(x + 1) \) Сократим дробь: \[ \frac{x^2 - x - 2}{2x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 1)}{2(x + 1)} = \frac{x - 2}{2} \]

4. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

Пусть \( a \) и \( b \) - стороны прямоугольника. Тогда: \[ 2(a + b) = 30 \implies a + b = 15 \implies b = 15 - a \] \[ ab = 56 \] Подставим выражение для \( b \) в уравнение площади: \[ a(15 - a) = 56 \] \[ 15a - a^2 = 56 \] \[ a^2 - 15a + 56 = 0 \] \[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1 \] \[ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] \[ a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] Если \( a = 8 \), то \( b = 15 - 8 = 7 \) Если \( a = 7 \), то \( b = 15 - 7 = 8 \)

5. Один из корней уравнения \( x^2 + 11x + q = 0 \) равен -7. Найдите другой корень и свободный член \( q \).

По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -11 \] \[ x_1 x_2 = q \] Известно, что \( x_1 = -7 \), тогда: \[ -7 + x_2 = -11 \implies x_2 = -11 + 7 = -4 \] \[ q = (-7) \cdot (-4) = 28 \]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно решил каждое уравнение, сократил дробь и применил теорему Виета.

Читерский прием: Используй онлайн-калькуляторы для проверки корней уравнений и разложения квадратного трехчлена на множители.

Ответ: Решения уравнений и задач выше.

Ты отлично справился с этими заданиями! Продолжай в том же духе!