Вариант 2 • 1. Решите уравнение: a) 3x² + 13x - 10 = 0; в) 16х2 = 49; 6) 2x²-3x = 0; г) х²-2x-35 = 0. • 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см². 3. Один из корней уравнения х² + 11x+q=0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член д.

a) Решим квадратное уравнение $$3x^2 + 13x - 10 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$$

Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5$$

Ответ: $$x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -5$$

---

б) Решим квадратное уравнение $$2x^2 - 3x = 0$$

Вынесем x за скобки: $$x(2x - 3) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$$x_1 = 0$$

$$2x - 3 = 0$$

$$2x = 3$$

$$x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 1.5$$

---

в) Решим уравнение $$16x^2 = 49$$

$$x^2 = \frac{49}{16}$$

$$x_1 = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4} = 1.75$$

$$x_2 = -\sqrt{\frac{49}{16}} = -\frac{7}{4} = -1.75$$

Ответ: $$x_1 = 1.75, x_2 = -1.75$$

---

г) Решим квадратное уравнение $$x^2 - 2x - 35 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$$

Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Ответ: $$x_1 = 7, x_2 = -5$$

---

2. Пусть одна сторона прямоугольника равна x, а другая y.

Тогда периметр прямоугольника равен $$2(x+y) = 30$$. Площадь прямоугольника равна $$xy = 56$$.

Выразим y через x из первого уравнения: $$x+y = 15$$

$$y = 15 - x$$

Подставим это во второе уравнение: $$x(15-x) = 56$$

$$15x - x^2 = 56$$

$$x^2 - 15x + 56 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$$

Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Если $$x = 8$$, то $$y = 15 - 8 = 7$$

Если $$x = 7$$, то $$y = 15 - 7 = 8$$

Ответ: 7 см и 8 см.

---

3. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ корни уравнения $$x^2 + 11x + q = 0$$.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -11$$

$$x_1 \cdot x_2 = q$$

Один из корней равен -7, т.е. $$x_1 = -7$$.

Тогда: $$-7 + x_2 = -11$$

$$x_2 = -11 + 7 = -4$$

$$q = x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot (-4) = 28$$

Ответ: другой корень -4, q = 28