Вариант 1 • 1. Решите уравнение: a) 2x²+7x-9-0; б) 3x² = 18x; в) 100х16-0; г) х²-16x+63-0. 1 К-5 (58) • 2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см². 3. В уравнении х²+рх 180 один из его корней ра вен 9. Найдите другой корень и коэффициент р.

Задание 1

Решим уравнения.

1. а) $$2x^2 + 7x - 9 = 0$$

   Найдем дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$

   Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$$

   Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -4.5$$

2. б) $$3x^2 = 18x$$

   $$3x^2 - 18x = 0$$

   $$3x(x - 6) = 0$$

   $$x = 0$$ или $$x - 6 = 0$$

   $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 6$$

   Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 6$$

3. в) $$100x^2 - 16 = 0$$

   $$100x^2 = 16$$

   $$x^2 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$$

   $$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}} = \pm \frac{2}{5} = \pm 0.4$$

   Ответ: $$x_1 = 0.4$$, $$x_2 = -0.4$$

4. г) $$x^2 - 16x + 63 = 0$$

   Найдем дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$$

   Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

   Ответ: $$x_1 = 9$$, $$x_2 = 7$$

Задание 2

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Периметр равен 20 см, а площадь равна 24 см².

$$P = 2(a + b) = 20$$

$$a + b = 10$$

$$S = a \cdot b = 24$$

Выразим b из первого уравнения: $$b = 10 - a$$

Подставим во второе уравнение:

$$a(10 - a) = 24$$

$$10a - a^2 = 24$$

$$a^2 - 10a + 24 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$$

$$a_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$a_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Если $$a = 6$$, то $$b = 10 - 6 = 4$$

Если $$a = 4$$, то $$b = 10 - 4 = 6$$

Ответ: Стороны прямоугольника: 6 см и 4 см.

Задание 3

$$x^2 + px - 18 = 0$$

Один из корней равен -9. Пусть $$x_1 = -9$$.

Найдем другой корень и коэффициент p.

Подставим $$x_1$$ в уравнение:

$$(-9)^2 + p(-9) - 18 = 0$$

$$81 - 9p - 18 = 0$$

$$63 - 9p = 0$$

$$9p = 63$$

$$p = \frac{63}{9} = 7$$

Теперь уравнение имеет вид: $$x^2 + 7x - 18 = 0$$

Используем теорему Виета:

$$x_1 + x_2 = -p$$

$$x_1 \cdot x_2 = -18$$

Мы знаем, что $$x_1 = -9$$, поэтому:

$$-9 + x_2 = -7$$

$$x_2 = -7 + 9 = 2$$

Проверим: $$-9 \cdot 2 = -18$$

Ответ: Другой корень равен 2, коэффициент p равен 7.