Вариант 1 • 1. Решите уравнение: a) 2x²+7x-9=0; б) 3x² = 18x; в) 100х2-16=0; г) х²-16х +63=0. К-5 (§ 8) • 2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольни- ка равна 24 см². 3. В уравнении х²+рх-18=0 один из его корней ра- вен - 9. Найдите другой корень и коэффициент р.

Решение заданий варианта 1

Задание 1

а) Решим уравнение 2x² + 7x - 9 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5\]

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -4.5

б) Решим уравнение 3x² = 18x. Перенесем все в одну сторону:

\[3x^2 - 18x = 0\]

Вынесем общий множитель за скобки:

\[3x(x - 6) = 0\]

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

\[3x = 0 \Rightarrow x = 0\]

\[x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\]

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 6

в) Решим уравнение 100x² - 16 = 0:

\[100x^2 = 16\]

\[x^2 = \frac{16}{100} = 0.16\]

\[x = \pm \sqrt{0.16} = \pm 0.4\]

Ответ: x₁ = 0.4, x₂ = -0.4

г) Решим уравнение x² - 16x + 63 = 0. Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

Ответ: x₁ = 9, x₂ = 7

Задание 2

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Периметр прямоугольника равен 2(a + b) = 20, следовательно, a + b = 10. Площадь прямоугольника равна a \cdot b = 24.

Выразим b через a из первого уравнения: b = 10 - a. Подставим это во второе уравнение:

\[a(10 - a) = 24\]

\[10a - a^2 = 24\]

\[a^2 - 10a + 24 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[a_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\]

\[a_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Если a = 6, то b = 10 - 6 = 4. Если a = 4, то b = 10 - 4 = 6.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 6 см и 4 см.

Задание 3

Дано уравнение x² + px - 18 = 0, один из корней равен -9. Пусть x₁ = -9.

Подставим x₁ в уравнение:

\[(-9)^2 + p(-9) - 18 = 0\]

\[81 - 9p - 18 = 0\]

\[63 - 9p = 0\]

\[9p = 63\]

\[p = \frac{63}{9} = 7\]

Теперь уравнение имеет вид: x² + 7x - 18 = 0.

Чтобы найти второй корень, можно воспользоваться теоремой Виета. Произведение корней равно свободному члену, взятому с противоположным знаком:

\[x_1 \cdot x_2 = -18\]

\[-9 \cdot x_2 = -18\]

\[x_2 = \frac{-18}{-9} = 2\]

Ответ: Второй корень равен 2, коэффициент p = 7.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -4.5; x₁ = 0, x₂ = 6; x₁ = 0.4, x₂ = -0.4; x₁ = 9, x₂ = 7; 6 см и 4 см; Второй корень равен 2, коэффициент p = 7.