Вариант 1 • 1. Решите уравнение: a) 2x²+7x-9-0; б) 3x²-18x; B) 100-16-0; г) x²-16x+65-0. • 2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольни ка равна 24 см³. 3. В уравнении х²+рх-18-0 один из его корней ра вен - 9. Найдите другой корень и коэффициент р. 4. Решить уравнение: (3х+1) (3x-1)=2x+1. 5. Сократить дробь: Вариант 2 • 1. Решите уравнение: a) 3x²+13x-10-0; б) 2x³-3x-0 36- 6-7ォラズ B) 16x-49; г) ²-2x+35-0. • 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольни ка равна 56 см. 3. Один из корней уравнения х²+11+0-0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член 4. 4. Решить уравнение: (4-x)(4+x)=-4x+9. 100-x 5. Сократить дробь: 10-11×+

Вариант 1

1. Решите уравнение:

a) $$2x^2+7x-9=0$$

Для решения квадратного уравнения вида $$ax^2+bx+c=0$$ можно использовать формулу дискриминанта: $$D=b^2-4ac$$. Если $$D > 0$$, то уравнение имеет два различных корня, если $$D = 0$$, то один корень, если $$D < 0$$, то корней нет.

Корни находятся по формуле: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

В данном случае $$a=2, b=7, c=-9$$

$$D=7^2-4\cdot2\cdot(-9) = 49 + 72 = 121$$

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{121}}{2\cdot2} = \frac{-7+11}{4}=\frac{4}{4}=1$$

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{121}}{2\cdot2} = \frac{-7-11}{4}=\frac{-18}{4}=-4.5$$

Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -4.5$$

б) $$3x^2-18x=0$$

Вынесем общий множитель за скобки: $$3x(x-6)=0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$3x=0 \Rightarrow x_1=0$$

$$x-6=0 \Rightarrow x_2=6$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 6$$

в) $$100x^2-16=0$$

$$100x^2=16$$

$$x^2=\frac{16}{100}=0.16$$

$$x=\pm\sqrt{0.16}=\pm0.4$$

Ответ: $$x_1 = 0.4, x_2 = -0.4$$

г) $$x^2-16x+65=0$$

$$a=1, b=-16, c=65$$

$$D=(-16)^2-4\cdot1\cdot65 = 256 - 260 = -4$$

Так как $$D < 0$$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см³.

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда периметр $$P = 2(a+b) = 20$$

Площадь $$S = a \cdot b = 24$$

Из первого уравнения: $$a+b = 10 \Rightarrow b = 10-a$$

Подставим во второе уравнение: $$a(10-a) = 24$$

$$10a - a^2 = 24 \Rightarrow a^2 - 10a + 24 = 0$$

$$a=1, b=-10, c=24$$

$$D=(-10)^2-4\cdot1\cdot24 = 100 - 96 = 4$$

$$a_1=\frac{10+\sqrt{4}}{2\cdot1} = \frac{10+2}{2}=\frac{12}{2}=6$$

$$a_2=\frac{10-\sqrt{4}}{2\cdot1} = \frac{10-2}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Если $$a = 6$$, то $$b = 10 - 6 = 4$$

Если $$a = 4$$, то $$b = 10 - 4 = 6$$

Ответ: Стороны прямоугольника 4 см и 6 см.

3. В уравнении $$x^2+px-18=0$$ один из его корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент p.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ корни квадратного уравнения $$x^2+px+q=0$$. По теореме Виета: $$x_1+x_2=-p$$ и $$x_1 \cdot x_2 = q$$

В нашем случае: $$x_1=-9$$, $$q = -18$$

Тогда: $$x_1 \cdot x_2 = -18 \Rightarrow -9 \cdot x_2 = -18 \Rightarrow x_2 = \frac{-18}{-9} = 2$$

$$x_1+x_2 = -p \Rightarrow -9 + 2 = -p \Rightarrow -7 = -p \Rightarrow p = 7$$

Ответ: Второй корень равен 2, коэффициент p = 7.

4. Решить уравнение: $$(3x+1)(3x-1)=2x+1$$

$$9x^2 - 1 = 2x + 1$$

$$9x^2 - 2x - 2 = 0$$

$$a=9, b=-2, c=-2$$

$$D=(-2)^2 - 4\cdot9\cdot(-2) = 4 + 72 = 76$$

$$x_1=\frac{2+\sqrt{76}}{2\cdot9} = \frac{2+2\sqrt{19}}{18}=\frac{1+\sqrt{19}}{9}$$

$$x_2=\frac{2-\sqrt{76}}{2\cdot9} = \frac{2-2\sqrt{19}}{18}=\frac{1-\sqrt{19}}{9}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{1+\sqrt{19}}{9}, x_2 = \frac{1-\sqrt{19}}{9}$$

5. Сократить дробь: $$\frac{36-x^2}{6-7x+x^2}$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $$36-x^2 = (6-x)(6+x)$$

Знаменатель: $$x^2 - 7x + 6$$

$$a=1, b=-7, c=6$$

$$D=(-7)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 49 - 24 = 25$$

$$x_1=\frac{7+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{7+5}{2}=\frac{12}{2}=6$$

$$x_2=\frac{7-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{7-5}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Знаменатель: $$(x-6)(x-1)$$

Дробь: $$\frac{(6-x)(6+x)}{(x-6)(x-1)} = \frac{-(x-6)(6+x)}{(x-6)(x-1)} = \frac{-(6+x)}{x-1} = \frac{-6-x}{x-1} = \frac{6+x}{1-x}$$

Ответ: $$\frac{6+x}{1-x}$$

Вариант 2

1. Решите уравнение:

a) $$3x^2+13x-10=0$$

$$a=3, b=13, c=-10$$

$$D=13^2-4\cdot3\cdot(-10) = 169 + 120 = 289$$

$$x_1=\frac{-13+\sqrt{289}}{2\cdot3} = \frac{-13+17}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

$$x_2=\frac{-13-\sqrt{289}}{2\cdot3} = \frac{-13-17}{6}=\frac{-30}{6}=-5$$

Ответ: $$x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -5$$

б) $$2x^3-3x=0$$

Вынесем общий множитель: $$x(2x^2-3)=0$$

$$x_1 = 0$$

$$2x^2-3=0 \Rightarrow 2x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = \sqrt{\frac{3}{2}}, x_3 = -\sqrt{\frac{3}{2}}$$

в) $$16x^2-49=0$$

$$16x^2 = 49$$

$$x^2 = \frac{49}{16}$$

$$x = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} = \pm \frac{7}{4}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{7}{4}, x_2 = -\frac{7}{4}$$

г) $$x^2-2x+35=0$$

$$a=1, b=-2, c=35$$

$$D=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot35 = 4 - 140 = -136$$

Так как $$D < 0$$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см.

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда периметр $$P = 2(a+b) = 30$$

Площадь $$S = a \cdot b = 56$$

Из первого уравнения: $$a+b = 15 \Rightarrow b = 15-a$$

Подставим во второе уравнение: $$a(15-a) = 56$$

$$15a - a^2 = 56 \Rightarrow a^2 - 15a + 56 = 0$$

$$a=1, b=-15, c=56$$

$$D=(-15)^2-4\cdot1\cdot56 = 225 - 224 = 1$$

$$a_1=\frac{15+\sqrt{1}}{2\cdot1} = \frac{15+1}{2}=\frac{16}{2}=8$$

$$a_2=\frac{15-\sqrt{1}}{2\cdot1} = \frac{15-1}{2}=\frac{14}{2}=7$$

Если $$a = 8$$, то $$b = 15 - 8 = 7$$

Если $$a = 7$$, то $$b = 15 - 7 = 8$$

Ответ: Стороны прямоугольника 7 см и 8 см.

3. Один из корней уравнения $$x^2+11x+q=0$$ равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ корни квадратного уравнения $$x^2+px+q=0$$. По теореме Виета: $$x_1+x_2=-p$$ и $$x_1 \cdot x_2 = q$$

В нашем случае: $$x_1=-7$$, $$p = 11$$

Тогда: $$x_1+x_2 = -11 \Rightarrow -7 + x_2 = -11 \Rightarrow x_2 = -11 + 7 = -4$$

$$x_1 \cdot x_2 = q \Rightarrow -7 \cdot (-4) = q \Rightarrow q = 28$$

Ответ: Второй корень равен -4, свободный член q = 28.

4. Решить уравнение: $$(4-x)(4+x)=-4x+9$$

$$16 - x^2 = -4x + 9$$

$$x^2 - 4x - 7 = 0$$

$$a=1, b=-4, c=-7$$

$$D=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-7) = 16 + 28 = 44$$

$$x_1=\frac{4+\sqrt{44}}{2\cdot1} = \frac{4+2\sqrt{11}}{2}=\frac{2+\sqrt{11}}{1} = 2+\sqrt{11}$$

$$x_2=\frac{4-\sqrt{44}}{2\cdot1} = \frac{4-2\sqrt{11}}{2}=\frac{2-\sqrt{11}}{1} = 2-\sqrt{11}$$

Ответ: $$x_1 = 2+\sqrt{11}, x_2 = 2-\sqrt{11}$$

5. Сократить дробь: $$\frac{100-x^2}{10-11x+x^2}$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $$100-x^2 = (10-x)(10+x)$$

Знаменатель: $$x^2 - 11x + 10$$

$$a=1, b=-11, c=10$$

$$D=(-11)^2 - 4\cdot1\cdot10 = 121 - 40 = 81$$

$$x_1=\frac{11+\sqrt{81}}{2\cdot1} = \frac{11+9}{2}=\frac{20}{2}=10$$

$$x_2=\frac{11-\sqrt{81}}{2\cdot1} = \frac{11-9}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Знаменатель: $$(x-10)(x-1)$$

Дробь: $$\frac{(10-x)(10+x)}{(x-10)(x-1)} = \frac{-(x-10)(10+x)}{(x-10)(x-1)} = \frac{-(10+x)}{x-1} = \frac{-10-x}{x-1} = \frac{10+x}{1-x}$$

Ответ: $$\frac{10+x}{1-x}$$