Вариант 2 • 1. Решите уравнение: a) 3x²+13x-10=0; б) 2x²-3x=0; в) 16х2 = 49; г) x²-2x-35=0. • 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольни- ка равна 56 см². 3. Один из корней уравнения х²+11x+q=0 равен - 7. Найдите другой корень и свободный член q.

1. Решите уравнение:

а) $$3x^2 + 13x - 10 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант равен: $$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5$$ Ответ: $$x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -5$$ б) $$2x^2 - 3x = 0$$ Вынесем x за скобки: $$x(2x - 3) = 0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$x_1 = 0$$ $$2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$$ Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 1.5$$ в) $$16x^2 = 49$$ $$x^2 = \frac{49}{16}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} = \pm \frac{7}{4}$$ $$x_1 = \frac{7}{4} = 1.75$$ $$x_2 = -\frac{7}{4} = -1.75$$ Ответ: $$x_1 = 1.75, x_2 = -1.75$$ г) $$x^2 - 2x - 35 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант равен: $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ Ответ: $$x_1 = 7, x_2 = -5$$

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда: $$P = 2(a + b) = 30$$ $$S = a \cdot b = 56$$ Выразим a + b из первого уравнения: $$a + b = \frac{30}{2} = 15$$ $$a = 15 - b$$ Подставим это во второе уравнение: $$(15 - b) \cdot b = 56$$ $$15b - b^2 = 56$$ $$b^2 - 15b + 56 = 0$$ Решаем квадратное уравнение относительно b. Дискриминант равен: $$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$$ $$b_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$b_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ Если b = 8, то a = 15 - 8 = 7. Если b = 7, то a = 15 - 7 = 8. Ответ: 7 см и 8 см

3. Один из корней уравнения $$x^2 + 11x + q = 0$$ равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни квадратного уравнения $$x^2 + 11x + q = 0$$. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -11$$ $$x_1 \cdot x_2 = q$$ Дано, что $$x_1 = -7$$. Тогда: $$-7 + x_2 = -11$$ $$x_2 = -11 + 7 = -4$$ Теперь найдем q: $$q = x_1 \cdot x_2 = (-7) \cdot (-4) = 28$$ Ответ: Другой корень равен -4, свободный член q равен 28.