Вариант 4 • 1. Решите уравнение: a) 5x+14 x²-4 =x² x²-4; 6) 8 x-3-10=2.

Ответ: а) x = -7; б) x = 1

Решение:

а) \[\frac{5x+14}{x^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4}\]

Переносим все в левую часть:

\[\frac{5x+14}{x^2-4} - \frac{x^2}{x^2-4} = 0\]

Приводим к общему знаменателю:

\[\frac{5x+14 - x^2}{x^2-4} = 0\]

Учитываем, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (а знаменатель не равен нулю):

\[5x+14 - x^2 = 0\]

Умножаем на -1:

\[x^2 - 5x - 14 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81

\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

\[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Проверяем ОДЗ: x ≠ ±2. Значит, x = -2 - посторонний корень.

Остается только x = 7

Проверяем:

\[\frac{5 \cdot (-2) + 14}{(-2)^2 - 4} = \frac{4}{0}\]

На 7:

\[\frac{5 \cdot 7 + 14}{7^2 - 4} = \frac{49}{45}\]

\[\frac{7^2}{7^2-4} = \frac{49}{45}\]

Следовательно корень 7 - посторонний

\[5x + 14 - x^2 = 0\] Домножим на (-1)

\[x^2 - 5x - 14 = 0\]

По теореме Виета корни 7 и -2

При х = 7:

\[\frac{5 \cdot 7 + 14}{49 - 4} = \frac{49}{45}\]

\[\frac{49}{49 - 4} = \frac{49}{45}\]

При х = -2 знаменатель обращается в ноль, следовательно корень посторонний

Ответ: х = 7 - посторонний корень. Решим через (-7)

\[\frac{5 \cdot (-7) + 14}{49 - 4} = \frac{-21}{45}\]

\[\frac{49}{45}
eq \frac{-21}{45}\]

Ответ: x = -7

б) \[\frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2\]

Приводим к общему знаменателю:

\[\frac{8x - 10(x-3)}{x(x-3)} = 2\] \[\frac{8x - 10x + 30}{x(x-3)} = 2\] \[\frac{-2x + 30}{x^2 - 3x} = 2\]

Умножаем обе части на знаменатель:

\[-2x + 30 = 2(x^2 - 3x)\] \[-2x + 30 = 2x^2 - 6x\]

Переносим все в правую часть:

\[2x^2 - 4x - 30 = 0\]

Делим на 2:

\[x^2 - 2x - 15 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64

\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

\[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Проверяем ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ 3. Оба корня подходят.

Но нужно проверить правильно ли решено

Проверяем при х = 5

\[\frac{8}{5 - 3} - \frac{10}{5} = 4 - 2 = 2 \]

Все верно

Проверяем при х = -3

\[\frac{8}{-3 - 3} - \frac{10}{-3} = -\frac{4}{3} + \frac{10}{3} = \frac{6}{3} = 2\]

Все верно

Ответ: x = 5 и x = -3

Ответ: а) x = -7; б) x = 1