Вариант 4 • 1. Решите уравнение: a) 9x27x - 2 = 0; в) 5х2 = 45; б) 4x²-x = 0; г) х² + 18х – 63 = 0. • 2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его пло- щадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Один из корней уравнения х² – 7х +q=0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

a) Решим квадратное уравнение $$9x^2 - 7x - 2 = 0$$.

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 9$$, $$b = -7$$, $$c = -2$$.

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 49 + 72 = 121$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня.

Найдем корни по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$.

$$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 + 11}{18} = \frac{18}{18} = 1$$

$$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 - 11}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$$

Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -\frac{2}{9}$$

б) Решим квадратное уравнение $$4x^2 - x = 0$$.

Вынесем x за скобки: $$x(4x - 1) = 0$$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, то есть либо $$x = 0$$, либо $$4x - 1 = 0$$.

Решим уравнение $$4x - 1 = 0$$:

$$4x = 1$$

$$x = \frac{1}{4} = 0.25$$

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 0.25$$

в) Решим уравнение $$5x^2 = 45$$.

Разделим обе части уравнения на 5:

$$x^2 = \frac{45}{5} = 9$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$$

Ответ: $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -3$$

г) Решим квадратное уравнение $$x^2 + 18x - 63 = 0$$.

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = 18$$, $$c = -63$$.

$$D = (18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня.

Найдем корни по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$.

$$x_1 = \frac{-18 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 + 24}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-18 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 - 24}{2} = \frac{-42}{2} = -21$$

Ответ: $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -21$$

2. Пусть длины сторон прямоугольника будут a и b. Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Тогда можно записать следующие уравнения:

$$2(a + b) = 22$$

$$ab = 24$$

Из первого уравнения можно выразить $$a + b = 11$$, тогда $$b = 11 - a$$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $$a(11 - a) = 24$$

$$11a - a^2 = 24$$

$$a^2 - 11a + 24 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$

Найдем корни: $$a_1 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$a_2 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Если $$a = 8$$, то $$b = 11 - 8 = 3$$. Если $$a = 3$$, то $$b = 11 - 3 = 8$$.

Ответ: Длины сторон прямоугольника 8 см и 3 см.

3. Один из корней уравнения $$x^2 - 7x + q = 0$$ равен 13. Найдем другой корень и свободный член q.

Пусть $$x_1 = 13$$ - один из корней уравнения. Подставим его в уравнение:

$$(13)^2 - 7 \cdot 13 + q = 0$$

$$169 - 91 + q = 0$$

$$78 + q = 0$$

$$q = -78$$

Теперь уравнение имеет вид $$x^2 - 7x - 78 = 0$$.

По теореме Виета, произведение корней равно свободному члену, а сумма корней равна коэффициенту при x с противоположным знаком:

$$x_1 + x_2 = 7$$

$$x_1 \cdot x_2 = -78$$

Известно, что $$x_1 = 13$$, найдем $$x_2$$:

$$13 + x_2 = 7$$

$$x_2 = 7 - 13 = -6$$

Ответ: Другой корень равен -6, свободный член q = -78.