Вариант 4 • 1. Решите уравнение: a) 9x2-7x-2=0; б) 4x²-x=0; в) 5х2 = 45; г) х²+18x-63=0. • 2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Один из корней уравнения х²- 7х+q=0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

1. Решите уравнение:

a) $$9x^2-7x-2=0$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 49 + 72 = 121$$
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 + 11}{18} = \frac{18}{18} = 1$$
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 - 11}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$$

Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -\frac{2}{9}$$

б) $$4x^2-x=0$$

Вынесем x за скобки:

$$x(4x-1)=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x_1 = 0$$
$$4x-1 = 0$$
$$4x = 1$$
$$x_2 = \frac{1}{4}$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{4}$$

в) $$5x^2 = 45$$

Разделим обе части уравнения на 5:

$$x^2 = \frac{45}{5}$$
$$x^2 = 9$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$x_1 = \sqrt{9} = 3$$
$$x_2 = -\sqrt{9} = -3$$

Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -3$$

г) $$x^2+18x-63=0$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576$$
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 + 24}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 - 24}{2} = \frac{-42}{2} = -21$$

Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -21$$

2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b - длины сторон прямоугольника. Тогда периметр P и площадь S выражаются формулами:

$$P = 2(a + b)$$
$$S = a \cdot b$$

Из условия:

$$2(a + b) = 22$$
$$a \cdot b = 24$$

Из первого уравнения:

$$a + b = 11$$
$$b = 11 - a$$

Подставим во второе уравнение:

$$a(11 - a) = 24$$
$$11a - a^2 = 24$$
$$a^2 - 11a + 24 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно a:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$
$$a_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
$$a_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Найдем b:

Если a = 8, то b = 11 - 8 = 3

Если a = 3, то b = 11 - 3 = 8

Ответ: Длины сторон прямоугольника: 8 см и 3 см.

3. Один из корней уравнения $$x^2-7x+q=0$$ равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни квадратного уравнения $$x^2-7x+q=0$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 7$$
$$x_1 \cdot x_2 = q$$

Из условия $$x_1 = 13$$, найдем $$x_2$$:

$$13 + x_2 = 7$$
$$x_2 = 7 - 13 = -6$$

Теперь найдем q:

$$q = x_1 \cdot x_2 = 13 \cdot (-6) = -78$$

Ответ: Другой корень равен -6, свободный член q равен -78.