Вариант 4 • 1. Решите уравнение: a) 9x2-7x-2=0; б) 4x²-x=0; в) 5х2 = 45; г) х²+18x-63=0. • 2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Один из корней уравнения х²- 7х+q=0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

1. Решите уравнение:

a) $$9x^2 - 7x - 2 = 0$$

1. Вычислим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 49 + 72 = 121$$
2. Найдем корни уравнения по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$: $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 + 11}{18} = \frac{18}{18} = 1$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 - 11}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$$

Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -\frac{2}{9}$$

б) $$4x^2 - x = 0$$

1. Вынесем x за скобки: $$x(4x - 1) = 0$$
2. Приравняем каждый множитель к нулю: $$x_1 = 0$$ $$4x - 1 = 0$$ $$4x = 1$$ $$x_2 = \frac{1}{4}$$

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = \frac{1}{4}$$

в) $$5x^2 = 45$$

1. Разделим обе части уравнения на 5: $$x^2 = \frac{45}{5}$$ $$x^2 = 9$$
2. Извлечем квадратный корень из обеих частей: $$x = \pm \sqrt{9}$$ $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -3$$

Ответ: $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -3$$

г) $$x^2 + 18x - 63 = 0$$

1. Вычислим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$: $$D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576$$
2. Найдем корни уравнения по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$: $$x_1 = \frac{-18 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 + 24}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-18 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 - 24}{2} = \frac{-42}{2} = -21$$

Ответ: $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -21$$

2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b - длины сторон прямоугольника. Тогда: Периметр: $$2(a + b) = 22$$ Площадь: $$a \cdot b = 24$$ Из первого уравнения выразим a через b: $$a + b = 11$$ $$a = 11 - b$$ Подставим это во второе уравнение: $$(11 - b) \cdot b = 24$$ $$11b - b^2 = 24$$ $$b^2 - 11b + 24 = 0$$ Вычислим дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$ Найдем корни: $$b_1 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$b_2 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ Если b = 8, то a = 11 - 8 = 3. Если b = 3, то a = 11 - 3 = 8.

Ответ: Длины сторон прямоугольника 3 см и 8 см.

3. Один из корней уравнения x²- 7х+q=0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни уравнения $$x^2 - 7x + q = 0$$. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 7$$ $$x_1 \cdot x_2 = q$$ Известно, что один из корней равен 13, пусть $$x_1 = 13$$. Тогда: $$13 + x_2 = 7$$ $$x_2 = 7 - 13 = -6$$ Теперь найдем q: $$q = x_1 \cdot x_2 = 13 \cdot (-6) = -78$$

Ответ: Другой корень равен -6, а свободный член q равен -78.