Вариант 1 • 1. Решите уравнение: К-5 (57, 8) a) 2x+7x-90; B) 100x160; 6) 3x² - 18x; г) х²-16х+63-0. • 2. Докажите тождество: 6х27х+2=(3x-2)(2x-1). 3. Сократите дробь: 4x²+10x-6 x+3 4. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника рав- на 24 см². 5. В уравнении х²+рх 180 один из его корней ра вен 9. Найдите другой корень и коэффициент р.

Вариант 1

1. Решите уравнение:

a) $$2x^2 + 7x - 9 = 0$$

Для решения квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$ можно использовать формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$, где $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

В нашем случае: a = 2, b = 7, c = -9

$$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$

$$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

$$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$$

Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -4.5$$

---

б) $$3x^2 = 18x$$

$$3x^2 - 18x = 0$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$3x(x - 6) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$3x = 0$$ или $$x - 6 = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = 6$$

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 6$$

---

в) $$100x^2 - 16 = 0$$

$$100x^2 = 16$$

$$x^2 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$$

$$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}} = \pm \frac{2}{5} = \pm 0.4$$

$$x_1 = 0.4$$

$$x_2 = -0.4$$

Ответ: $$x_1 = 0.4$$, $$x_2 = -0.4$$

---

г) $$x^2 - 16x + 63 = 0$$

Используем формулу дискриминанта: a = 1, b = -16, c = 63

$$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$$

$$x_1 = \frac{16 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{16 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Ответ: $$x_1 = 9$$, $$x_2 = 7$$

---

2. Докажите тождество: $$6x^2 - 7x + 2 = (3x - 2)(2x - 1)$$.

Раскроем скобки в правой части:

$$(3x - 2)(2x - 1) = 3x \cdot 2x - 3x \cdot 1 - 2 \cdot 2x + 2 \cdot 1 = 6x^2 - 3x - 4x + 2 = 6x^2 - 7x + 2$$

Итак, $$6x^2 - 7x + 2 = 6x^2 - 7x + 2$$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано: $$6x^2 - 7x + 2 = (3x - 2)(2x - 1)$$.

---

3. Сократите дробь: $$\frac{4x^2 + 10x - 6}{x + 3}$$

Разложим числитель на множители. Сначала найдем корни квадратного уравнения $$4x^2 + 10x - 6 = 0$$

Разделим уравнение на 2: $$2x^2 + 5x - 3 = 0$$

$$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$

$$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$

Тогда $$4x^2 + 10x - 6 = 4(x - \frac{1}{2})(x + 3) = (2x - 1)(2x + 6)$$.

Теперь сократим дробь:

$$\frac{4x^2 + 10x - 6}{x + 3} = \frac{(2x - 1)2(x + 3)}{x + 3} = 4x - 2$$

Ответ: $$4x-2$$

---

4. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².

Пусть a и b - стороны прямоугольника.

Периметр: $$2(a + b) = 20$$, откуда $$a + b = 10$$

Площадь: $$a \cdot b = 24$$

Выразим a через b из первого уравнения: $$a = 10 - b$$

Подставим во второе уравнение: $$(10 - b)b = 24$$

$$10b - b^2 = 24$$

$$b^2 - 10b + 24 = 0$$

$$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$$

$$b_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$b_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Если $$b = 6$$, то $$a = 10 - 6 = 4$$

Если $$b = 4$$, то $$a = 10 - 4 = 6$$

Ответ: Стороны прямоугольника 4 см и 6 см.

---

5. В уравнении $$x^2 + px - 18 = 0$$ один из его корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент p.

Пусть $$x_1 = -9$$ - один из корней уравнения. Тогда при подстановке этого значения в уравнение оно должно обращаться в верное равенство:

$$(-9)^2 + p(-9) - 18 = 0$$

$$81 - 9p - 18 = 0$$

$$63 - 9p = 0$$

$$9p = 63$$

$$p = \frac{63}{9} = 7$$

Теперь уравнение имеет вид: $$x^2 + 7x - 18 = 0$$

По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -p$$ и $$x_1 \cdot x_2 = -18$$

$$x_1 = -9$$, тогда $$-9 + x_2 = -7$$

$$x_2 = -7 + 9 = 2$$

Ответ: Второй корень $$x_2 = 2$$, коэффициент $$p = 7$$.