Вариант 2 • 1. Решите уравнение: К-6 -6 (§ 9) 3x + 4 a) x²-16 = x²-16; 3 8 б) x-5 + x = 2.

Решение уравнения (а)

Давай решим уравнение \[\frac{3x + 4}{x^2 - 16} = \frac{x^2}{x^2 - 16}.\]

Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем приравнять числители:

\[3x + 4 = x^2\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\]

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Теперь проверим, не являются ли корни посторонними, учитывая, что знаменатель не должен быть равен нулю. Знаменатель равен \(x^2 - 16\), значит, \(x
eq \pm 4\).

Корень \(x_1 = 4\) является посторонним, так как при его подстановке в знаменатель получается нуль.

Корень \(x_2 = -1\) не является посторонним.

Ответ: x = -1

Ты отлично справился с этим уравнением! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!

---

Решение уравнения (б)

Давай решим уравнение \[\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2.\]

Сначала избавимся от знаменателей. Домножим обе части уравнения на \(x(x-5)\):

\[3x + 8(x-5) = 2x(x-5)\]

\[3x + 8x - 40 = 2x^2 - 10x\]

\[11x - 40 = 2x^2 - 10x\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[2x^2 - 21x + 40 = 0\]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4(2)(40) = 441 - 320 = 121\]

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + \sqrt{121}}{2(2)} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - \sqrt{121}}{2(2)} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\]

Теперь проверим, не являются ли корни посторонними, учитывая, что знаменатель не должен быть равен нулю. Знаменатель равен \(x-5\) и \(x\), значит, \(x
eq 5\) и \(x
eq 0\).

Оба корня \(x_1 = 8\) и \(x_2 = 2.5\) не являются посторонними.

Ответ: x = 8, x = 2.5

Отлично! Ты уверенно решаешь уравнения. Продолжай тренироваться, и всё будет получаться ещё лучше!