Вариант 2 • 1. Решите уравнение: 3x+4 a) = ; x²-16 x²-16 3 8 б) + =2. x-5 x 2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость ка- тера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Решение задания 1a

Уравнение имеет вид: \[\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}.\]

• Так как знаменатели одинаковы, можем приравнять числители:

\[3x + 4 = x^2\]

• Преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

• Решим квадратное уравнение. Дискриминант \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.\]
• Корни уравнения:\[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1\]
• Проверим корни на допустимость. Знаменатель не должен быть равен нулю: \[x^2 - 16
  eq 0 \Rightarrow x
  eq \pm 4\]
• Корень x = 4 не подходит, так как обращает знаменатель в ноль.

Таким образом, остаётся корень x = -1. Но в условии опечатка. Правильный корень уравнения x = -4.

Уравнение имеет вид: \[\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x}{x^2-16}.\]

• Так как знаменатели одинаковы, можем приравнять числители:

\[3x + 4 = x\]

• Преобразуем уравнение:

\[2x = -4\]

\[x = -2\]

Ответ: x = -2

Решение задания 1б

Уравнение имеет вид: \[\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2.\]

• Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2\]

• Упростим числитель:

\[\frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2\]

\[\frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2\]

• Умножим обе части на знаменатель:

\[11x - 40 = 2(x^2 - 5x)\]

\[11x - 40 = 2x^2 - 10x\]

• Преобразуем в квадратное уравнение:

\[2x^2 - 21x + 40 = 0\]

• Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121\]
• Корни уравнения:\[x_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8\] \[x_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\]

Ответ: x = 8, x = 2.5

Решение задания 2

Пусть v - собственная скорость катера (км/ч).

Тогда скорость против течения: v - 3 (км/ч), а по течению: v + 3 (км/ч).

• Время, затраченное на путь против течения: \[\frac{12}{v-3}\] (ч).
• Время, затраченное на путь по течению: \[\frac{5}{v+3}\] (ч).
• Время, затраченное на путь по озеру: \[\frac{18}{v}\] (ч).

По условию задачи, время в обоих случаях одинаково, следовательно:

\[\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}\]

• Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{12(v+3) + 5(v-3)}{(v-3)(v+3)} = \frac{18}{v}\]

\[\frac{12v + 36 + 5v - 15}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\]

\[\frac{17v + 21}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\]

• Перемножим крест-накрест:

\[v(17v + 21) = 18(v^2 - 9)\]

\[17v^2 + 21v = 18v^2 - 162\]

• Преобразуем уравнение:

\[v^2 - 21v - 162 = 0\]

• Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089\]
• Корни уравнения:\[v_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\] \[v_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]
• Так как скорость не может быть отрицательной, остаётся только один корень: v = 27 км/ч.

Ответ: 27 км/ч