Вариант 1 • 1. Решите уравнение: x2 a) x²-9 = 12-x. x²-9 ; 6 б) + x-2 5 = х 3. 2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на об- ратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он всё же на обратный путь затратил времени на 10 мин меньше, чем на путь из пункта А в пункт В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?

Решение задания 1a

Дано уравнение: \[\frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}\]

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, т.е. \(x^2 - 9
eq 0\), следовательно, \(x
eq \pm 3\)

Умножаем обе части уравнения на \(x^2 - 9\) (при условии \(x
eq \pm 3\)):

\[x^2 = 12 - x\]

Переносим все в левую часть:

\[x^2 + x - 12 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

Проверяем ОДЗ: \(x
eq \pm 3\). Значит, \(x = 3\) не является решением.

Таким образом, остается только один корень: \(x = -4\).

Ответ: x = -4

Решение задания 1б

Дано уравнение: \[\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3\]

ОДЗ: \(x
eq 2\) и \(x
eq 0\)

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\frac{6x + 5(x-2)}{x(x-2)} = 3\]

\[\frac{6x + 5x - 10}{x^2 - 2x} = 3\]

\[\frac{11x - 10}{x^2 - 2x} = 3\]

Умножаем обе части уравнения на \(x^2 - 2x\) (при условии \(x
eq 2\) и \(x
eq 0\)):

\[11x - 10 = 3(x^2 - 2x)\]

\[11x - 10 = 3x^2 - 6x\]

Переносим все в правую часть:

\[3x^2 - 6x - 11x + 10 = 0\]

\[3x^2 - 17x + 10 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Проверяем ОДЗ: \(x
eq 2\) и \(x
eq 0\). Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x = 5, x = 2/3

Решение задачи 2

Пусть x - скорость велосипедиста из пункта А в пункт В (км/ч).

Тогда x - 3 - скорость велосипедиста на обратном пути (км/ч).

Расстояние из А в В - 27 км.

Расстояние обратно - 27 - 7 = 20 км.

Время из А в В: 27/x (ч).

Время обратно: 20/(x-3) (ч).

Известно, что на обратный путь затрачено на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. 10 минут = 10/60 часа = 1/6 часа.

Составляем уравнение:

\[\frac{27}{x} - \frac{20}{x-3} = \frac{1}{6}\]

Приводим к общему знаменателю:

\[\frac{27(x-3) - 20x}{x(x-3)} = \frac{1}{6}\]

\[\frac{27x - 81 - 20x}{x^2 - 3x} = \frac{1}{6}\]

\[\frac{7x - 81}{x^2 - 3x} = \frac{1}{6}\]

Умножаем обе части на \(6(x^2 - 3x)\):

\[6(7x - 81) = x^2 - 3x\]

\[42x - 486 = x^2 - 3x\]

\[x^2 - 45x + 486 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 486 = 2025 - 1944 = 81\]

\[x_1 = \frac{45 + \sqrt{81}}{2} = \frac{45 + 9}{2} = \frac{54}{2} = 27\]

\[x_2 = \frac{45 - \sqrt{81}}{2} = \frac{45 - 9}{2} = \frac{36}{2} = 18\]

Проверяем корни:

• Если x = 27, то скорость на обратном пути 27 - 3 = 24 км/ч. Все условия задачи выполняются.
• Если x = 18, то скорость на обратном пути 18 - 3 = 15 км/ч. Все условия задачи выполняются.

Оба корня подходят, но обычно в таких задачах скорость не может быть слишком большой. Если взять скорость 27 км/ч, то время в пути будет 1 час, а обратно 20/24 = 50 минут, что на 10 минут меньше. Если взять скорость 18 км/ч, то время в пути будет 1.5 часа, а обратно 20/15 = 1 час 20 минут, что тоже на 10 минут меньше.

Ответ: 27 км/ч или 18 км/ч