Вариант 2 • 1. Упростите выражение: a) 2√2+√50-√98; 6) (3√5-√20)√5; B) (√3+√2)². • 2. Решите уравнение графически: √x=x-6 3. Сократите дробь: a) 5-√5 √10-√2 ; 6) b-4 √b-2. 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: a) 2 3√7; 6) 4 √11+3. 5. Докажите, что значение выражения 1 1 3√5+1 - 3√5-1 есть число рациональное.

Решение:

1. Упростите выражение:
   1. $$2\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{98} = 2\sqrt{2} + \sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{49 \cdot 2} = 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 7\sqrt{2} = (2+5-7)\sqrt{2} = 0$$

      Ответ: 0

   2. $$(3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5} = (3\sqrt{5} - \sqrt{4 \cdot 5})\sqrt{5} = (3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$$

      Ответ: 5

   3. $$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$$

      Ответ: $$5 + 2\sqrt{6}$$

2. Решите уравнение графически:$$\sqrt{x} = x - 6$$

   Строим графики функций $$y = \sqrt{x}$$ и $$y = x - 6$$. Точка пересечения графиков является решением уравнения.

   Точка пересечения: (9; 3)

   Ответ: x = 9

3. Сократите дробь:
   1. $$\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$

      Ответ: $$\frac{\sqrt{10}}{2}$$

   2. $$\frac{b-4}{\sqrt{b}-2} = \frac{(\sqrt{b} - 2)(\sqrt{b} + 2)}{\sqrt{b} - 2} = \sqrt{b} + 2$$

      Ответ: $$\sqrt{b} + 2$$

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
   1. $$\frac{2}{3\sqrt{7}} = \frac{2 \cdot \sqrt{7}}{3\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{3 \cdot 7} = \frac{2\sqrt{7}}{21}$$

      Ответ: $$\frac{2\sqrt{7}}{21}$$

   2. $$\frac{4}{\sqrt{11} + 3} = \frac{4(\sqrt{11} - 3)}{(\sqrt{11} + 3)(\sqrt{11} - 3)} = \frac{4(\sqrt{11} - 3)}{11 - 9} = \frac{4(\sqrt{11} - 3)}{2} = 2(\sqrt{11} - 3)$$

      Ответ: $$2(\sqrt{11} - 3)$$

5. Докажите, что значение выражения $$\frac{1}{3\sqrt{5}+1} - \frac{1}{3\sqrt{5}-1}$$ есть число рациональное.

   $$\frac{1}{3\sqrt{5}+1} - \frac{1}{3\sqrt{5}-1} = \frac{(3\sqrt{5} - 1) - (3\sqrt{5} + 1)}{(3\sqrt{5} + 1)(3\sqrt{5} - 1)} = \frac{3\sqrt{5} - 1 - 3\sqrt{5} - 1}{(3\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{-2}{9 \cdot 5 - 1} = \frac{-2}{45 - 1} = \frac{-2}{44} = -\frac{1}{22}$$

   Число $$-\frac{1}{22}$$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $$\frac{p}{q}$$, где p и q - целые числа и q ≠ 0.

   Ответ: Число рациональное.