Вариант 2 • 1. Упростите выражение: a) 2√2+√50-√98; 6) (3√5-√20)√5; B) (√3+√2)2. • 2. Сравните √60 и 10. 3. Сократите дробь: a) 5-V5 V10-V2; 6) b-4 16-2 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: 2 a) 3V7; б) 4 11+3 5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное. 1 + 1 1-3/5 1+3√5 6. При каких значениях х дробь х-2 наибольшее значение? x-4 принимает

1. Упростите выражение:

a) \(2\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{98}\)

\[2\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{98} = 2\sqrt{2} + \sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{49 \cdot 2} = 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 7\sqrt{2} = (2 + 5 - 7)\sqrt{2} = 0\sqrt{2} = 0\]

б) \((3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5}\)

\[(3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5} = (3\sqrt{5} - \sqrt{4 \cdot 5})\sqrt{5} = (3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5\]

в) \((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\)

\[(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}\]

Ответ: а) 0; б) 5; в) \(5 + 2\sqrt{6}\)

2. Сравните \(\sqrt{60}\) и \(10\sqrt{\frac{1}{5}}\)

Преобразуем второе выражение:

\[10\sqrt{\frac{1}{5}} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}\]

Теперь сравним \(\sqrt{60}\) и \(\sqrt{20}\). Очевидно, что \(\sqrt{60} > \sqrt{20}\).

Ответ: \(\sqrt{60} > 10\sqrt{\frac{1}{5}}\)

3. Сократите дробь:

a) \(\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}\)

\[\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}\]

б) \(\frac{b-4}{\sqrt{b}-2}\)

\[\frac{b-4}{\sqrt{b}-2} = \frac{(\sqrt{b}-2)(\sqrt{b}+2)}{\sqrt{b}-2} = \sqrt{b}+2\]

Ответ: а) \(\frac{\sqrt{10}}{2}\); б) \(\sqrt{b}+2\)

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

a) \(\frac{2}{3\sqrt{7}}\)

\[\frac{2}{3\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{3\sqrt{7}\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{3 \cdot 7} = \frac{2\sqrt{7}}{21}\]

б) \(\frac{4}{\sqrt{11}+3}\)

\[\frac{4}{\sqrt{11}+3} = \frac{4(\sqrt{11}-3)}{(\sqrt{11}+3)(\sqrt{11}-3)} = \frac{4(\sqrt{11}-3)}{11-9} = \frac{4(\sqrt{11}-3)}{2} = 2(\sqrt{11}-3)\]

Ответ: а) \(\frac{2\sqrt{7}}{21}\); б) \(2(\sqrt{11}-3)\)

5. Докажите, что значение выражения \(\frac{1}{1-3\sqrt{5}} + \frac{1}{1+3\sqrt{5}}\) есть число рациональное.

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{1}{1-3\sqrt{5}} + \frac{1}{1+3\sqrt{5}} = \frac{1+3\sqrt{5} + 1 - 3\sqrt{5}}{(1-3\sqrt{5})(1+3\sqrt{5})} = \frac{2}{1 - (3\sqrt{5})^2} = \frac{2}{1 - 9 \cdot 5} = \frac{2}{1 - 45} = \frac{2}{-44} = -\frac{1}{22}\]

Так как \(-\frac{1}{22}\) - рациональное число, то утверждение доказано.

Ответ: \(-\frac{1}{22}\) - рациональное число

6. При каких значениях х дробь \(\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\) принимает наибольшее значение?

Преобразуем выражение:

\[\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x}+2}\]

Выражение имеет смысл при \(x \geq 0\) и \(x
eq 4\). Чтобы дробь \(\frac{1}{\sqrt{x}+2}\) принимала наибольшее значение, знаменатель \(\sqrt{x}+2\) должен быть наименьшим. Наименьшее значение \(\sqrt{x}\) равно 0, при \(x=0\). Следовательно, наибольшее значение дробь принимает при \(x=0\).

Ответ: x = 0

Ты отлично справился с решением задач! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!