Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) 10√3-4√48-√75; 6) (5√2-√18) √2; в) (3-√2)². • 2. Сравните 7 1/7 и 1/2 √20. 3. Сократите дробь: a) 6+√6/√30+ √5; б) 9-a/3+√a. 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: a) 1/2√5; б) 8/√7-1. 5. Докажите, что значение выражения 1/2√3+1 - 1/2√3-1 есть число рациональное. 6. При каких значениях а дробь √a-√5/a-5 принимает наибольшее значение? 6) √x - x-y/√x + √y 7. Сравните с нулём значение выраже a) 3ab/a²+b², где а > 0, b < 0; б) 5a³b²/a+b, где а < 0, b < 0.

1. Упростите выражение:

a) $$10\sqrt{3}-4\sqrt{48}-\sqrt{75} = 10\sqrt{3}-4\sqrt{16\cdot3}-\sqrt{25\cdot3} = 10\sqrt{3}-4\cdot4\sqrt{3}-5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}-16\sqrt{3}-5\sqrt{3} = (10-16-5)\sqrt{3} = -11\sqrt{3}$$.

Ответ: $$-11\sqrt{3}$$

б) $$(5\sqrt{2}-\sqrt{18})\sqrt{2} = (5\sqrt{2}-\sqrt{9\cdot2})\sqrt{2} = (5\sqrt{2}-3\sqrt{2})\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2\cdot2 = 4$$.

Ответ: $$4$$

в) $$(3-\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2\cdot3\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$$.

Ответ: $$11 - 6\sqrt{2}$$

2. Сравните $$7\frac{1}{7}$$ и $$\frac{1}{2}\sqrt{20}$$.

$$7\frac{1}{7} = \frac{50}{7}$$

$$\frac{1}{2}\sqrt{20} = \frac{1}{2}\sqrt{4\cdot5} = \frac{1}{2}\cdot2\sqrt{5} = \sqrt{5}$$.

Сравним $$\frac{50}{7}$$ и $$\sqrt{5}$$

Возведем обе части в квадрат: $$(\frac{50}{7})^2 = \frac{2500}{49} \approx 51.02$$.

$$(\sqrt{5})^2 = 5$$.

Так как $$51.02 > 5$$, то $$7\frac{1}{7} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$$.

Ответ: $$7\frac{1}{7} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$$

3. Сократите дробь:

а) $$\frac{6+\sqrt{6}}{\sqrt{30}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{6}+1)}{\sqrt{5}(\sqrt{6}+1)} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{30}}{5}$$

б) $$\frac{9-a}{3+\sqrt{a}} = \frac{(3-\sqrt{a})(3+\sqrt{a})}{3+\sqrt{a}} = 3-\sqrt{a}$$.

Ответ: $$3-\sqrt{a}$$

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) $$\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{1\cdot\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2\cdot5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{5}}{10}$$

б) $$\frac{8}{\sqrt{7}-1} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{7-1} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{6} = \frac{4(\sqrt{7}+1)}{3}$$.

Ответ: $$\frac{4(\sqrt{7}+1)}{3}$$

5. Докажите, что значение выражения $$\frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1}$$ есть число рациональное.

$$\frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1} = \frac{(2\sqrt{3}-1)-(2\sqrt{3}+1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)} = \frac{2\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}-1}{(2\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{-2}{4\cdot3-1} = \frac{-2}{12-1} = -\frac{2}{11}$$.

Так как $$\frac{-2}{11}$$ - рациональное число, то утверждение доказано.

Ответ: $$\frac{-2}{11}$$ - рациональное число

6. При каких значениях а дробь $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{a-5}$$ принимает наибольшее значение?

Преобразуем дробь: $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{a-5} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{(\sqrt{a}-\sqrt{5})(\sqrt{a}+\sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{5}}$$.

Дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель минимален. Минимальное значение $$\sqrt{a}+\sqrt{5}$$ достигается, когда $$a$$ принимает наименьшее возможное значение, при котором выражение имеет смысл. Поскольку в числителе есть корень $$\sqrt{a}$$, то $$a \ge 0$$. Однако, если $$a < 5$$ , то $$\sqrt{a}-\sqrt{5}$$ отрицательно, следовательно $$a > 5$$

Таким образом, при а=5 дробь не существует, a a > 5. Наибольшее значение при а -> 5

Ответ: а > 5

6) $$\sqrt{x} - \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$$.

Если требуется упростить выражение:

$$\sqrt{x} - \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) - (x-y)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{x + \sqrt{xy} - x + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{y + \sqrt{xy}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}(\sqrt{y} + \sqrt{x})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{y}$$.

Ответ: $$\sqrt{y}$$

7. Сравните с нулём значение выражения

а) $$\frac{3ab}{a^2+b^2}$$, где $$a > 0, b < 0$$.

Так как $$a > 0$$, $$b < 0$$, то $$3ab < 0$$. Знаменатель $$a^2+b^2$$ всегда положителен, следовательно дробь меньше нуля.

Ответ: Меньше нуля

б) $$\frac{5a^3b^2}{a+b}$$, где $$a < 0, b < 0$$.

Так как $$a < 0$$, $$b < 0$$, то $$5a^3b^2 < 0$$. Знаменатель $$a+b < 0$$, следовательно дробь больше нуля.

Ответ: Больше нуля