Контрольные задания > Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) 10√3-4√48-√75; 6) (5√2-√18) √2; в) (3-√2)2. •2. Сравните: 7√1/7 и 1/2√20. 3. Сократите дробь: a) 6+√6/√30+√5; б) 9-a/3+√a 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: a) 1/2√5; 6) 8/√7-1 5. Докажите, что значение выражения 1/2√3+1 - 1/2√3-1 есть число рациональное.
Вопрос:

Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) 10√3-4√48-√75; 6) (5√2-√18) √2; в) (3-√2)2. •2. Сравните: 7√1/7 и 1/2√20. 3. Сократите дробь: a) 6+√6/√30+√5; б) 9-a/3+√a 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: a) 1/2√5; 6) 8/√7-1 5. Докажите, что значение выражения 1/2√3+1 - 1/2√3-1 есть число рациональное.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

1. Упростите выражение:

а)

Краткое пояснение: Упростим каждое слагаемое, вынося множители из-под знака корня, и приведем подобные.
  1. \(10\sqrt{3}-4\sqrt{48}-\sqrt{75} = 10\sqrt{3} - 4\sqrt{16 \cdot 3} - \sqrt{25 \cdot 3} = 10\sqrt{3} - 4 \cdot 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 16\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = -11\sqrt{3}\)

Ответ: \(-11\sqrt{3}\)

б)

Краткое пояснение: Упростим выражение в скобках, вынося множитель из-под знака корня, затем умножим на \(\sqrt{2}\).
  1. \((5\sqrt{2} - \sqrt{18})\sqrt{2} = (5\sqrt{2} - \sqrt{9 \cdot 2})\sqrt{2} = (5\sqrt{2} - 3\sqrt{2})\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4\)

Ответ: 4

в)

Краткое пояснение: Возведем выражение в квадрат, используя формулу квадрата разности.
  1. \((3-\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}\)

Ответ: \(11 - 6\sqrt{2}\)

2. Сравните:

Краткое пояснение: Приведем оба выражения к общему виду, чтобы их можно было сравнить.
  1. \(7\sqrt{\frac{1}{7}} = 7\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7}\)
  2. \(\frac{1}{2}\sqrt{20} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5}\)
  3. Т.к. \(\sqrt{7} > \sqrt{5}\), то \(7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}\)

Ответ: \(7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}\)

3. Сократите дробь:

а)

Краткое пояснение: Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе.
  1. \(\frac{6+\sqrt{6}}{\sqrt{30}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{6}+1)}{\sqrt{5}(\sqrt{6}+1)} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{30}}{5}\)

б)

Краткое пояснение: Разложим числитель на множители как разность квадратов.
  1. \(\frac{9-a}{3+\sqrt{a}} = \frac{(3-\sqrt{a})(3+\sqrt{a})}{3+\sqrt{a}} = 3-\sqrt{a}\)

Ответ: \(3-\sqrt{a}\)

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а)

Краткое пояснение: Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\).
  1. \(\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{5}}{10}\)

б)

Краткое пояснение: Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \(\sqrt{7}+1\).
  1. \(\frac{8}{\sqrt{7}-1} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{7-1} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{6} = \frac{4(\sqrt{7}+1)}{3}\)

Ответ: \(\frac{4(\sqrt{7}+1)}{3}\)

5. Докажите, что значение выражения \(\frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1}\) есть число рациональное.

Краткое пояснение: Приведем дроби к общему знаменателю и упростим выражение.
  1. \(\frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1} = \frac{(2\sqrt{3}-1) - (2\sqrt{3}+1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)} = \frac{2\sqrt{3}-1 - 2\sqrt{3}-1}{(2\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{-2}{12-1} = \frac{-2}{11}\)

Т.к. \(\frac{-2}{11}\) - рациональное число, то утверждение доказано.

Ответ: \(\frac{-2}{11}\) - рациональное число

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю