Вариант 2 • 1. Упростите выражение: a) 2√2 + √50-√98; б) (3√5-√20)√5; в) (√3+√2)². 6. При каких значениях а дробь a-5 принимает наибольшее значение?

1. Упростите выражение:

a) $$2\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{98}$$

1. Представим $$\sqrt{50}$$ и $$\sqrt{98}$$ в виде произведения, чтобы выделить полные квадраты:$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$ $$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$$
2. Подставим полученные значения в исходное выражение:$$2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 7\sqrt{2}$$
3. Выполним вычисления: $$(2 + 5 - 7)\sqrt{2} = 0\sqrt{2} = 0$$

Ответ: 0

б) $$(3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5}$$

1. Упростим выражение в скобках, представив $$\sqrt{20}$$ в виде произведения:$$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$$
2. Подставим полученное значение в исходное выражение: $$(3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5}$$
3. Упростим выражение в скобках:$$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$$
4. Выполним умножение: $$(\sqrt{5})^2 = 5$$

Ответ: 5

в) $$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$$

1. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
2. Применим формулу к нашему выражению: $$\left(\sqrt{3}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right)^2$$
3. Выполним вычисления: $$3 + 2\sqrt{6} + 2$$
4. Приведем подобные слагаемые: $$5 + 2\sqrt{6}$$

Ответ: $$5 + 2\sqrt{6}$$

6. При каких значениях *a* дробь $$\frac{a-5}{a}$$ принимает наибольшее значение?

Рассмотрим функцию $$f(a) = \frac{a-5}{a}$$. Преобразуем ее:

$$f(a) = \frac{a-5}{a} = \frac{a}{a} - \frac{5}{a} = 1 - \frac{5}{a}$$

Чтобы функция $$f(a)$$ принимала наибольшее значение, нужно, чтобы $$\frac{5}{a}$$ принимала наименьшее значение.

Если *a* > 0, то $$\frac{5}{a}$$ будет положительным числом, и чем больше *a*, тем меньше значение $$\frac{5}{a}$$.

Если *a* < 0, то $$\frac{5}{a}$$ будет отрицательным числом, и чем меньше *a*, тем больше значение $$\frac{5}{a}$$.

Т.к. нужно найти наибольшее значение, то надо рассмотреть случай с положительными значениями *а*, стремящимися к +∞.

Таким образом, дробь $$\frac{a-5}{a}$$ принимает наибольшее значение при значениях *a*, стремящихся к положительной бесконечности.