Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) 10/3-4/48-75; 6) (5√2-√18)√2; в) (3-√2)². • 2. Сравните 7 и 20. 1 7 3. Сократите дробь: a) 2 6+√6 √30+ √5 ; б) 9-a 3+√a 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: a) 1; 2√5 8 6)-1 √7-1 5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное. 6. При каких значениях а дробь наибольшее значение? 1 2√3+1 1 2√3-1 √a -√5 a-5 принимае

1. Упростите выражение:

a) $$10\sqrt{3}-4\sqrt{48}-\sqrt{75} = 10\sqrt{3}-4\sqrt{16\cdot 3}-\sqrt{25\cdot 3} = 10\sqrt{3}-4\cdot 4\sqrt{3}-5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}-16\sqrt{3}-5\sqrt{3} = -11\sqrt{3}$$

Ответ: $$-11\sqrt{3}$$

б) $$(5\sqrt{2}-\sqrt{18})\sqrt{2} = (5\sqrt{2}-\sqrt{9\cdot 2})\sqrt{2} = (5\sqrt{2}-3\sqrt{2})\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} = 2\cdot 2 = 4$$

Ответ: $$4$$

в) $$(3-\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2\cdot 3\cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11-6\sqrt{2}$$

Ответ: $$11-6\sqrt{2}$$

2. Сравните $$7\frac{1}{7}$$ и $$\frac{1}{2}\sqrt{20}$$.

$$7\frac{1}{7} = \frac{50}{7}$$

$$\frac{1}{2}\sqrt{20} = \frac{1}{2}\sqrt{4\cdot 5} = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$$

Сравним $$\frac{50}{7}$$ и $$\sqrt{5}$$.

Возведем в квадрат оба числа: $$(\frac{50}{7})^2 = \frac{2500}{49} \approx 51.02$$

$$(\sqrt{5})^2 = 5$$

Так как $$\frac{2500}{49} > 5$$, то $$\frac{50}{7} > \sqrt{5}$$.

Следовательно, $$7\frac{1}{7} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$$.

Ответ: $$7\frac{1}{7} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$$

3. Сократите дробь:

a) $$\frac{6+\sqrt{6}}{\sqrt{30}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{6}+1)}{\sqrt{5}(\sqrt{6}+1)} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{30}}{5}$$

б) $$\frac{9-a}{3+\sqrt{a}} = \frac{(3-\sqrt{a})(3+\sqrt{a})}{3+\sqrt{a}} = 3-\sqrt{a}$$

Ответ: $$3-\sqrt{a}$$

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

a) $$\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{1\cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2\cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{5}}{10}$$

б) $$\frac{8}{\sqrt{7}-1} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{7-1} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{6} = \frac{4(\sqrt{7}+1)}{3}$$

Ответ: $$\frac{4(\sqrt{7}+1)}{3}$$

5. Докажите, что значение выражения $$\frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1}$$ есть число рациональное.

$$\frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1} = \frac{(2\sqrt{3}-1)-(2\sqrt{3}+1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)} = \frac{2\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}-1}{(2\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{-2}{4\cdot 3-1} = \frac{-2}{12-1} = -\frac{2}{11}$$

Так как $$-\frac{2}{11}$$ - рациональное число, то значение выражения - рациональное число.

Ответ: Доказано

6. При каких значениях a дробь $$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{a-5}$$ принимает наибольшее значение?

$$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{a-5} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{(\sqrt{a} - \sqrt{5})(\sqrt{a} + \sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{5}}$$

Дробь $$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{5}}$$ принимает наибольшее значение, когда $$\sqrt{a} + \sqrt{5}$$ принимает наименьшее значение. Это происходит, когда a принимает наименьшее возможное значение, то есть a = 0.

Однако, знаменатель не должен равняться 0, поэтому $$\sqrt{a} + \sqrt{5}
eq 0$$, следовательно a не может быть равен 5. Выражение $$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{a-5}$$ имеет смысл, когда $$a \geq 0$$ и $$a
eq 5$$.

$$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{5}}$$ будет наибольшим, когда $$\sqrt{a}$$ будет наименьшим. $$a \geq 0$$, поэтому минимальное значение a = 0. В этом случае, значение выражения равно $$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$.

Ответ: a = 0