Вариант 4 • 1. Упростите выражение: a) 5a (2-a)+6a (a−7); б) (b− 3) (b − 4) – (b + 4)²; в) 20х+5(х-2)2. • 2. Разложите на множители: а) 25у-у³; б) – 4x²+8xy – 4y². 3. Упростите выражение (3x + x2)² – x² (x - 5) (x + 5) + 2x (8-3x²). 4. Разложите на множители: a) 16/81-b4; б) а² - x² + 4x-4. 5. Докажите, что выражение – у²+2y-5 при любых значениях у принимает отрицательные значения.

Задание 1. Упростите выражение:

a) \(5a (2-a)+6a (a−7)\)

1. Раскрываем скобки: \(10a - 5a^2 + 6a^2 - 42a\)
2. Приводим подобные слагаемые: \(a^2 - 32a\)

Ответ: \(a^2 - 32a\)

б) \((b− 3) (b − 4) – (b + 4)^2\)

1. Раскрываем скобки: \(b^2 - 4b - 3b + 12 - (b^2 + 8b + 16)\)
2. Упрощаем: \(b^2 - 7b + 12 - b^2 - 8b - 16\)
3. Приводим подобные слагаемые: \(-15b - 4\)

Ответ: \(-15b - 4\)

в) \(20х+5(х-2)^2\)

1. Раскрываем скобки: \(20x + 5(x^2 - 4x + 4)\)
2. Упрощаем: \(20x + 5x^2 - 20x + 20\)
3. Приводим подобные слагаемые: \(5x^2 + 20\)

Ответ: \(5x^2 + 20\)

Задание 2. Разложите на множители:

а) \(25у-у^3\)

1. Выносим \(у\) за скобки: \(y(25 - y^2)\)
2. Раскладываем разность квадратов: \(y(5 - y)(5 + y)\)

Ответ: \(y(5 - y)(5 + y)\)

б) \(-4x^2+8xy – 4y^2\)

1. Выносим \(-4\) за скобки: \(-4(x^2 - 2xy + y^2)\)
2. Раскладываем квадрат разности: \(-4(x - y)^2\)

Ответ: \(-4(x - y)^2\)

Задание 3. Упростите выражение:

\((3x + x^2)^2 – x^2 (x - 5) (x + 5) + 2x (8-3x^2)\)

1. Раскрываем скобки: \(9x^2 + 6x^3 + x^4 - x^2(x^2 - 25) + 16x - 6x^3\)
2. Упрощаем: \(9x^2 + 6x^3 + x^4 - x^4 + 25x^2 + 16x - 6x^3\)
3. Приводим подобные слагаемые: \(34x^2 + 16x\)

Ответ: \(34x^2 + 16x\)

Задание 4. Разложите на множители:

а) \(\frac{16}{81} - b^4\)

1. Применим формулу разности квадратов: \((\frac{4}{9} - b^2)(\frac{4}{9} + b^2)\)
2. Разложим разность квадратов еще раз: \((\frac{2}{3} - b)(\frac{2}{3} + b)(\frac{4}{9} + b^2)\)

Ответ: \((\frac{2}{3} - b)(\frac{2}{3} + b)(\frac{4}{9} + b^2)\)

б) \(а^2 - x^2 + 4x-4\)

1. Сгруппируем: \(a^2 - (x^2 - 4x + 4)\)
2. Выделим полный квадрат: \(a^2 - (x - 2)^2\)
3. Разложим разность квадратов: \((a - (x - 2))(a + (x - 2))\)
4. Упрощаем: \((a - x + 2)(a + x - 2)\)

Ответ: \((a - x + 2)(a + x - 2)\)

Задание 5. Докажите, что выражение \(- у²+2y-5\) при любых значениях y принимает отрицательные значения.

1. Выделим полный квадрат: \(-(y^2 - 2y + 5)\)
2. Преобразуем: \(-(y^2 - 2y + 1 + 4)\)
3. Выделим полный квадрат: \(-((y - 1)^2 + 4)\)
4. Раскроем скобки: \(-(y - 1)^2 - 4\)

Так как \((y - 1)^2\) всегда неотрицательно, то \(-(y - 1)^2\) всегда неположительно. Следовательно, \(-(y - 1)^2 - 4\) всегда отрицательно.